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D. BIERENS DE HAAN. NOTE SUR LA QUADRATURE, ETC. 131 



a, a -{- k^ a -\- 2 h y . . . . a -[- {n — 1) /^ ; (e) 



alors pour la dernière substitution on a x -[~ à n= a ^ nà ^ soit 



= 6, d'où il s'ensuit àziz (/). 



n 



Ajoutons les résultats de cette substitution ; on verra qu'il y 



a beaucoup de termes qui se détruisent , et qu'il nous reste 



m-f{a) = [^ A j/i (6)-/i (a) i - ~ V- \/n (6)-/n (a) | 



H î /J» i/viii (6) — /vm (a) ( 1 + 



1209600 "^ V / ./ v;i j -r 



4- /ï j /i (a) +/i (a + //) +/I (a + 2/;) H b/^ (" + [«- 2] à) + 



+/I (6-/.) I + R (11). 



Selon que dans la partie entre crochets, au second membre, 

 on prend un, deux, trois ou quatre termes, on retombe sur les 

 résultats qu'auraient fournis les équations (1), (2), (3) ou (4). 

 Pour les corrections respectives , on les trouve au N". 4 ; elles 

 sont de la forme générale 



{—l)^Ah2kd ]/2&{x J^/i)—/2&{x)\ ....... (11«). 



et 



(_l)^M2^+l/^'^+^ {X-^OA) . (11*). 



Comme la première correction (IP) peut, à cause de < d < 1 

 être regardée comme 



moindre que (—1)* Am \f2k(x^/i)—/2k(x)\, 



l'addition, après qu'on aura substitué les valeurs (e), donnera 

 ici pour la correction totale de (HJ : 



Rj moindre que (—1)^ A/i2k j /2/. (ft) — /3/^ (a) | , 



ou bien 



n^={—iyAk^^d \f^^{b)—P^{a)\ (11^). 



Pour la deuxième correction , — qui ne vaut que dans le cas 

 où /2^H-i (a;4- ?«) ne change pas de signe entre les limites et ^ 

 de w, — il faut additionner les quantités 



9* 



