132 D. BIERENS DE HAAN. NOTE SUR LA QUADRATURE , ETC. 



f^k+\^a-^e h), p^^-^ {a+ [6 + \)h], . .fU+l {a ^[d ^n~l]h\ 

 Soit (y2k+i la plus grande de ces dérivées f^k+i (^) pour q 

 entre les limites a et 6 ; puisqu'on a a <.a-^dk et a+((^-|-w — l)h 



<.aj^nh <b, cette somme reste moindre que n. G2/t|i, et par 

 suite la correction devient 



= i—l)^B^^% .6a2k+i (11'^). 



Substituons les mêmes valeurs (e) de x dans l'équation (10) 

 et ajoutons les résultats. Ici il n'y pas de termes qui se détrui- 

 sent, et Ton trouve: 



/{b)-/{a)z=h |/I(a)^-2/I(a+^)^-2/I(a^-2/.)-t-.^-2/I(6-/0-f/I(6) I - 

 -gV' i/"^W+2/ni(a+y^)+2/ni(a+2^)+.+2/ni(ft-/^)+/ni(6) | + 

 ^ ^' \P (a)+2/v(a4-/l)4-2/v(a-H2/.)+..+2/v(6-/.)-i-/v(6) | - 



' 240 



"5^0 "^^ !/^^^(«)+2/^"(«+^)+2/>n(a^_2>4)+.H_2/vii(6-/^) + 



+/vn(6)| + 

 31 



h^ |/ix(a) + 2/ix {a-^h) + 2/ix {a^2h) h 



725760 



+ 2/ix(6-^)4./ix(6)! +R' (12). 



Pour avoir les résultats que donneraient les équations (9), (8), 

 (7) et (6), il faut nécessairement négliger ou le cinquième terme , 

 ou encore le quatrième, ou encore le troisième, ou enfin encore le 

 deuxième terme dans le second membre de l'équation (12). Les 

 corrections respectives ont été déduites au N^ 5; elles ont ici 

 la forme générale 



(^^xycChUQ \pk(x^h) —P^{x) \ (12«) 



et 



(_l)^/)^2^+l/2^+l(^_^,9/,) (12*). 



Elles sont de la même forme que les précédentes (11") et (11^) : 



