D. rflERENS DE HAAN. SUR QUELQUES INTEGRALES DEFINIES, ETC. 143 



formule goniométrique connue. Maintenant l'on peut prendre 

 ap = s y où .V deviendra de nouveau tout-à-fait arbitraire , et les 

 résultats 



f Cos {rxP) ,x'dx= ^:j:^— ^os C-y ^ y (^^) 



'5+1 

 pr P 



r 



I Sin {rxP) .xsdx =z ~^~^^^^ xY /' ^^^^ 



pr P 



seront encore plus généraux que les formules (12) et (13), qui 

 en sont des cas spéciaux; on les déduirait en outre en prenant 

 q =z dans les intégrales (20) et (21). 



Mais pour la différentiation réitérée par rapport à p des inté- 

 grales (1) à (3), on ne saurait prendre la même voie, puisqu'il 

 faudrait employer le théorème de Leibnitz , et qu'ainsi on n'obtien- 

 drait point des formules générales. Toutefois , les résultats que nous 

 venons de trouver nous seront ici d'une grande utilité. En effet, 

 la différentiation par rapport à p a eu l'effet d'introduire le facteur 

 Ixj et c'est ce que nous pourrons obtenir ici en différentiant 

 les résultats (19), (20) et (21), (26) et (27) une seule fois par 

 rapport à p. Observons pour cela que la théorie des fonctions 

 Gamma donne 



p \ p J 5 + 1 V p ; 



puisque 



V \ f } \ V / 



{d) 



Ainsi le premier groupe mènera à trois équations, dont les 

 deux dernières doivent être résolues algébriquement pour trouver 

 les intégrales séparément : puis il faut changer p -\- s en s, ce 



