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des arcs. Les fonctions ,/• et z satisfont aux conditions 



I a-'j -+- .rii + .xf^ ::= ^ j -I- z'z -4- •=';] ^=^0, -^1 =^ f>^^i ; 



On peut multiplier les fonctions x et z par un même facteur de façon à 

 réduire z-.^ -+- iz-.^ à l'unité. On a alors 



(8) j 



et si l'on pose 

 on aura 



v2?r, -t- ,rj; = 0, ( i — o)-) d^x^ -+- dx'i + dx'z = o, 



h iz,.= I, z, — iz;, — {i — f,i''-)x'\ + œr,-^ x'î. 



Çl — : \/ I fi)-.l',, ^2 — ^ii ^3 — •^■ii 



dc'i + d'lz -hd'lj: 



On est ramené à trouver les lignes de longueur nulle d'un cône de révolu- 

 tion, ce qui est très facile. On obtient ainsi deux surfaces moulures S et H 

 applicables l'une sur l'autre. Si la surface S se réduit à une sphère, la sur- 

 face ï sera une surface à courbure totale constante. Il suffit pour cela de 

 faire 



X, :^ Xo=: Xsm o, X', = sin (', X'o^rcosc; 



on aura alors 



Z'j := f,) sin v, dlJ'r = dv- ( 1 — r,)'^ cos- c) ; 



Z[, est déterminé par une (juadrature elliptique. On obtient ainsi des sur^ 

 faces de révolution qui sont à courbure totale constante. La méthode laisse 

 échapper la surface pseudo-sphérique. On l'obtient de la façon suivante : 

 On remplace l'équation (2) par 



(9) Y, + n'2+ y; + /Y'2 = o. 



Les coordonnées du point qui décrit S sont 0,, Oo et V.,, où 



&, - ie, = Y, - iY, - y; + A", . 

 On ne change rien à la surface 1. Seulement, au lieu des équations (5), on a 



Zi = o.,(x, -^ «Xo), z^ ~ r,j(;, 4- i\r,), /z; =: o)(x; ^ /x;). 



De pareilles solutions particulières se présentent aussi dans le cas général. 

 Je les laisserai de côté dans cette Note. 



