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niques » de réquation « harmonique » 



(a) |!l.=,[o(„ + ,)_d;(,.-r)]Z, 



qui est liée en Géométrie à la déformation infiniment petite des surfaces 

 mini ma. Elle est d'ailleurs une forme réduite de l'équation générale 



où k, g, l sont des fonctions quelconques de t, que Ton rencontre dans les 

 problèmes classiques de Physique mathématique (refroidissement d'une 

 barre homogène, théories de Sturm et de Liouville, etc.); on réduit (^2) 

 à (i) par deux quadratures. 



Il est donc très important de connaître les cas où une simplification se 

 présente dans l'intégration de (i), en laissant le paramètre h ai'bilraire ( '). 

 Nous avons réussi à déterminer la fonction o dans tous les cas où l'intégrale r 

 peut s'obtenir par des quadratures. Nous caractérisons en outre tous les 

 autres cas de réduction du groupe de rationalité de l'équation (i); la fonc- 

 tion o satisfait à des équations dilîerenlielles qui ne peuvent s'intégrer par 

 quadratures; le cas le plus simple redonne, par exemple, l'équation de 

 M. Painlevé : 



d-o „ , , 

 dx- 



2. Posons y' = py, la résolvante en p est une équation de Riccali 



(3) p'4-p-=9(.r) H-//. 



et le groupe de rationalité de l'équation aux dérivées partielles correspon- 

 dantes, dans le domaine \li, p, 9('r)] : 



(') Cette étude peut être faite avec les moyens de la lliéorie classique de M. E. 

 Picard pour les équations linéaires. 



