SÉANCE DU 6 JANVIER 1919- ^9' 



est formé de transformations 



OÙ «, è, c, c? sont des fonctions de A. 



Lorsque ce groupe se réduit, il devient linéaire en / et Texpression de 



Finvariant J = ^ : i^ est rationnelle en c et en h. 



00~ 00 



Les racines du dénominateur de J, regardé comme polynôme en p, sont 

 des solutions particulières de (3), algébriques en h. 



Le cas d'une seule racine (^rationnelle en A) ne se présente pas. De même 

 le nombre des racines ne peut dépasser 2, c'est-à-dire que l'intégrale de (3) 

 n'est jamais algébrique en A. Il reste à examiner le cas de deux solutions 

 particulières, algébriques en h, pour l'équation (3). Elles peuvent se définir 



par les formules ' _ 



R' v/i2 _ R' \J9. 



'P'= R "^"R' ^P^- R~"R' 



où Q est un polynôme en h à coefficients constants et où le polynôme en h 

 désigné par R satisfait à l'équation différentielle 



(4) R"'_4R'((p + /i) — oRœ'^o; 



l'équation (3) s'intègre alors par une seule quadrature. 



L'équation (4) peut admettre comme solution R un polynôme en h de degré quel- 

 conque «; on obtient alors pour 9 une équation d'ordre {in + i). Des intégrales 

 dépendant de (« -H i) constantes s'obtiennent en exprimant que 



R"— 2 RR' + 4 R2 ( 9 + /O = ^ (/' ), 



oà le polynôme du second membre est à coefficients constants. Elles expriment que 

 l'intégrale/ de (3), fraction du premier degré en p, est définie à un facteur près, 

 fonction de h. 



3. Darboux a observé (') qu'on peut passer d'une équation (i) à une 

 autre par la transformation 



^ y' 



C) Leçons sur la théorie des surfaces, t. *2, p. 196, § 408. 

 C. R., 1919, I" Semestre. (T. 168, N»l.) 



