82 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



les solutions p£uvent présenter des sing-ularités et des caractères différents 

 de ceux qu'elles présentent dans le problème des n corps. D'ailleurs, si les 

 paramètres w,- ne sojit pas tous de même signe dans l'interprétation méca- 

 nique des équations différentielles considérées, les forces s'exerçant entre 

 les n points sont des attractions et des répulsions en raison inverse du carré 

 de la distance, mais ces attractions et répulsions ne satisfont plus au 

 principe de l'égalité de l'action et de la réaction ; de deux points dont les 

 paramètres sont de signes contraires, l'un attire l'autre et est repoussé 

 par lui. 



Par exemple, si l'on suppose, dans les équations du problème des deux 

 corps, les coefficients m^ m, de signes contraires et égaux, et moyennant 

 une translation rectiligne et uniforme convenable des axes de coordonnées, 

 la trajectoire de l'un des corps est en général une chaînette^ au lieu des 

 sections coniques classiques. 



II. Dans ce qui suit nous considérons le mouvement des trois corps par 

 rapport à leur centre de gravité. 



Théorème. — Dans le problème des trois corps, tout choc de deux corps a 

 lieu dans le plan du maximum des aires. 



La démonstration de ce théorème est fondée sur la considération des 

 intégrales des aires et sur ce que la somme des moments des quantités de 

 mouvement de deux corps qui se choquent par rapport à leur centre de gra- 

 vité tend vers zéro à l'instant du choc. La trajectoire du troisième corps, 

 ou du centre de gravité des deux premiers, est tangente au plan du maxi- 

 mum des aires. Si les trois constantes des aires sont nulles, on sait que le 

 mouvement des trois corps est plan : à l'instant de tout choc de deux corps, 

 la tangente à la trajectoire du troisième passe au point où se choquent les 

 deux premiers. 



M. Sundman a démontré que, si les trois constantes des aires ne sont pas 

 nulles, il ne peut jamais y avoir qu'une seule des trois distances mutuelles 

 qui soit arbitrairement petite. Mais, dans la même hypothèse, quand le 

 temps croît indéfiniment, le mouvement des trois corps, prolongé analyti- 

 quement après tout choc de deux corps, peut encore présenter a priori trois 

 allures différentes : 



1° Les trois distances mutuelles restent supérieures à une longueur fixe 

 plus grande que zéro. 



