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ANALYSE MATHÉMATIQUE. Sur les siiigulcwités irréguHéres des équations 

 différentieUes linéaires. Note de M. René G armer. 



Je me propose d'étendre aux équations différentielles linéaires d'ordre 

 quelconque les résultats que j'ai fait connaître antérieurement (') à propos 

 des singularités irrégulières des équations linéaires du second ordre. Une 

 telle extension se heurte d'ailleurs à plus d'un obstacle, ainsi qu'il arrive 

 fréquemment lorsqu'on quitte le champ linéaire du second ordre. Mais, 

 dans l'ensemble, on peut toujours affirmer que, 5^ Von envisage une équation 

 linéaire (E), d'ordre m^'i, possédant un point irrégulier x = oo, de rang n, 

 comme cas-limite d'une équation (E) pourvue de n-\-\ singularités régulières 

 (^x =:<x>, et n points X/^ très éloignés), les propriétés fondamentales des inté- 

 grales de (E) (existence d'intégrales canoniques, invariants du groupe de 

 monodromie, ligne de zéros) se retrouvent à la limite dans des propriétés ana- 

 logues des intégrales de ( E ) . 



I. Soit donc l'équation d'ordre w : 



(Ë) j('") + A, j('"-») + . . .-T- Ay^C'-^'H-. . .+ A„,„, j-'+ A„,y = o. 



où les quotients Ayra?-/'""^- sont holomor()hes à l'extérieur d'un cercle 

 r(| j;[ =. /'o); ainsi, a; — ce est pour (E) un point irrégulier de rang «. Au 

 lieu de considérer (E) comme provenant d'une équation possédant un point 

 régulier, voisin d'un point de rang n — i , nous allons, cette fois, envisager 

 directement une équation 



(E) (i — £".r ")'"/''"' + ■ • . + (i — £'':r")"'->Ayy("'-^) + . . .-f- A;„/ = o, 



qui, pour [ 1 1 assez petit, possédera hors de F n -\- i points réguliers, .:r = ce 



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et ï/, = £■"' ^^ " (/i = i, ..., /î). Soit aj le coefficient de ,r--/"'— ') dans Ay ; 

 nous supposerons d'abord que r équation 



f{s) =: s'" + «i^"'"i 4- . . . + a„, -1^ 4- «,„ = o 



possède m racines distinctes .v,, . , ., s,,^. On montre alors qu'on peut former 



(') Noir notamment Comptes rendus^ t. lOi, 1917, p. 266, et t. 166, 1918, p. io3 

 et 602. 



