SÉANCE DU 20 JANVIEH 19X9- '43 



m expressions 



(les a étant liolomorphes en i pour s = o), telles que si l'on pose 



LogW/,(j?)=: ^ (I — c"a:")-'c7Af/.f (/'■ = !, ...,/«) 



l'équation (E) puisse s'écrire 



m m 



( E') ( I — l'^x^nynyim) + V ( i — £«,r«)'"-./ By^>"'-" =r .C--''V( I — t" X" )'"--'-» Cy J('«->^ 



= 1 7=1 



les quotients B^ : .^y("-') et C^ : a;'-'> "-*' étant réguliers hors de F, et le pre- 

 mier membre égalé à zéro admettant les u. comme intégrales. Dès lors, il 

 est tout indiqué d'intégrer (E') par approximations successives; on posera 

 ainsi de proche en proche : 



i 7o(.-p) = ii/d^-)^ 



en désignant par a'~-o[y(x),y] le second membre de ( E'), et par Rg(x) 

 une expression formée au moyen des gj/ et holomorphe hors de F. On 

 démontre enfin que les approximations convergent régulièrement vers une 

 fonction limite Y^(.r), si |.:r| est pris suffisamment grand (indépendamment 

 de £) et si l'on adopte pour chemin d'intégration (.p ^), Tune, (j^^'), des 

 m branches de la courbe 



(H) iJi;e'^£-«Log(i — e";"); = C, 



où et C ont été choisis convenablement; d'une façon plus précise, 

 {^t) désignera la branche précédente, parcourue dans un sens bien déter- 

 miné, qui pourra varier avec l'indice g : c'est là une circonstance qui n'avait 

 pas d'analogue pour les équations du second ordre. Observons enfin que 

 chacune des m branches de H s'enroule autour des deux points x-^ et x, 

 l'arc intermédiaire (' ) tendant uniformément vers l'une des branches de 



(h) /•"cos(«6-+- o) = C. 



(') On entend par là les points x tels que /•i<|^|</'. (/'i et r^ indépendants 

 dec). 



