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2. Pour interpréter les résultats précédents, supposons d'abord que les 

 racines S;, def(s) = o forment un polygone convexe 11 (ce qui est le seul cas 

 possible pour m = 2); on établit alors qu'on peut adopter le même sens de 

 parcours sur les {j^'l) ( ^ ayant été convenablement choisi ) ; et les fonctions- 

 limites Y/- ne seront autres que des intégrales canoniques relatives au point x^ 

 [correspondant à (<^)] et à ^ = ce. D'ailleurs, £ tendant vers zéro, ces 

 intégrales, dont le nombre est mn, tendent (') vers des intégrales de (E) 

 que nous appellerons encore normales, et qu'on obtiendrait directement en 

 appliquant à (E) un algorithme analogue au précédent, le long de la 

 branche correspondante de (H). Je montre enfin que la convergence reste 

 assurée si l'on fait croître C indéfiniment à partir d'une certaine valeur Cq,, 

 et si l'on fait varier à l'intérieur d'un des deux angles opposés, d'ouver- 

 ture V/„ extérieurs à II en s,^. Dans chaque cas, la branche (.t^''') — et à la 

 limite (4^^) — balaieront un certain domaine en tout point duquel on con- 

 naîtra la valeur d'une intégrale bien déterminée de (E) et de (E j. Or ces 

 deux domaines empiètent l'un sur l'autre, et les deux intégrales correspon- 

 dantes coïncident dans le domaine commun. On se trouve ainsi avoir défini 

 une intégrale unique, dans un secteur d'amplitude ir. -h V/, : n ; et, par 

 suite, on peut déterminer pour (E), par exemple, hors de F, mn secteurs 

 illimités à V intérieur de chacun desquels on sait calculer m -h i intégrales 

 normales de (E), qui sont des traces d'intégrales canoniques de (E) : fait 

 assurément bien remarquable. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le prolongement analytique des intégrales 

 de certains systèmes d'équations aux dérivées partielles linéaires. Note 

 de M. RiQUiER, présentée par M. P. Appell. 



1. Désignant par x, y, ... des variables indépendantes en nombre quel- 

 conque, et les supposant, indifféremment, réelles ou imaginaires, nous 

 commencerons par poser, relativement à la nature des régions que l'on 

 peut être conduit à considérer dans l'espace [|îi',y, •••!]• les définitions 

 suivantes : 



Si l'on considère, d'une part, une région déterminée, d'autre part, un 



(*) La convergence étant uniforme pour /!< |j:| ■< r.^. 



