SÉANCE DU 20 JANVIER I919. 14? 



Cela posé, si, d\ine pari, les coefficients du système S sont des fonctions 

 analytiques et régulières dans la région 



(2) (R,, Rm R,,,, R,); 



si, d'' autre part, on a choisi pour les arbitraires (i) des fonctions analytiques 

 et régulières dans les régions respectives 



R,, (R^, R,), (R.,., R,), (Ra, R.,., R.), (R,, K,). (R^, R,. R.), (R,, R..., R.), 



les intégrales correspondantes ne peuvent manquer d'hêtre elles-mêmes analy- 

 tiques et régulières dans la région ( 2 ) ( ' ) . 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques problèmes relatifs à V itération 

 des fractions rationnelles. Note de M. Gaston Julia, présentée par 

 M. Georges Humbert. 



I. Dans ma Note du 28 janvier 1918, j'ai laissé en suspens la question de 

 savoir si, pour une substitution rationnelle z^ =z R(::), un point invariant 

 '( = R.('C) où l'on aurait R'(C) = e'^, étant incommensurable à ir,, pouvait 

 être un centre. Je suis en mesure aujourd'hui de trancher cette question par 

 la négative : pour une substitution rationnelle , il ny a pas de centre, tout point 

 ^ = R((^) ow I R'('C) I = I est un point de r ensemble parfait que f ai appelé E'. 



On sait que tout point 'C = R(C) où R'(C) = e'^ 6 commensurable à 2-, 

 est un point de E', les R„ n'y sont pas normales, t est point-limite pour les 

 conséquents d'un point critique de la branche de la fonction inverse de R(^) 

 qui prend la valeur ^ en 'C; et cette dernière propriété équivaut à dire que 

 X^ est de E' : car si C n'était pas de E', on démontre aisément que l'on pourrait 

 trouver une solution de l'équation de Schrœder'.f/(5i ) = e^^-\){z), nulle en '(, 

 holomorphe autour de u. 'C serait un centre, il ne serait point limite de 

 conséquents pour aucun point du plan. Inversement, si C n'était pas point- 

 limite de points critiques des branches des fonctions inverses des R„ qui sont 

 égales à 'C en 'C, on démontrerait encore l'existence de la solution holomorphe 

 de l'équation précédente et l'on en conclurait que '( n'est pas de E'. 



(*) Les systèmes tels que S et le calcul par cheminement de leurs intégrales ont 

 fait, il y a quelques années, l'objet d'une première Note, dans laquelle aucune conclu- 

 sion relative à la monodromie éventuelle des intégrales ne se trouvait formulée 

 {Comptes rendus^ t. 133, 1901, p. 1187). 



