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Parles mêmes raisonnements, si ô est incommensurable à 27ï, on démontre 

 que : i° ou bien '( n'est pas de E', alors c'est un centra; et dans un cercle G 

 assez petit de centre '( i' n'y a aucun conséquent de point critique de la 

 fonction inverse de K(-). Les fonctions inverses de toutes les R„(^) ont 

 chacune une branche égale à '( en t, holomorphe dans G. '( est entouré de 

 courbes analytiques fermées qui se transforment en elles-mêmes biunivo- 

 quement par z•^ = R(5), ainsi que les aires qu'elles délimitent. 



2° Ou bien '( est de E', et dans tout voisinage de '( une branche, égale à 

 'C en 'C, d'une inverse de R„(3) pour n convenable, a un point critique au 

 moins, c'est-à-dire que "C est point-limite pour les conséquents d'un point 

 critique de la branche de la fonction inverse de R(s) qui est égale à (^ en ^. 



Or la première hypothèse est impossible. On peut en effet démontrer 

 que, si 'C était centre, l'équation fonctionnelle cp(6'^Z) = R[9(Z)]qui a une 

 solution o(Z) égale à '( pour Z = o et holomorphe autour de Z =: o aurait 

 pour cette solution une fonction méromorphe dans tout le plan de Z. Tout 

 point z du plan (') aurait tous ses conséquents s,, ^^o? ••• répartis sur une 

 courbe analytique fermée passant par z (pouvant avoir des points doubles) 

 et partout denses sur cette courbe. Ce fait est contredit par l'existence en 

 infinité dénombrable des racines de z = R/(^) qui n'ont qu'un nombre fini 

 de conséquents. 



II. On peut tirer de là d'importantes conclusions. En effet, si l'on 

 considère une aire D du plan r- où ne se trouve aucun point de E', la suite 

 des R, étant normale dans D, on en peut extraire une suite R„, {z), R„2(5), ... 

 qui tende, uniformément dans D, vers une constante ou vers une fonction- 

 limite, et j'ai fait observer dans ma Note citée au n** I que la fonction limite 

 ne pouvait ditïérer d'une constante que s'il existait un centre, c'est-à-dire un 

 point 'C = Rp(0 pour lequel R)XO = ^'^ (^ incommensurable à 211) qui ne 

 fût pas de E'. Gette éventualité étant impossible : toute fonction limite pour 

 la suite des R, est une constante. On démontre aisément que si cette constante 

 n'est pas un point de E'c'estnécessairement une racine d'équation z =■ Ra(s) 

 pour laquelle |R^(:;)| <! i, et l'on a affaire à une convergence périodique. 



Si cette constante est un point de E', il est encore aisé de démontrer, en 

 supposant que toutes les itérées D/ de D ne sont pas dans des régions 

 distinctes du plan séparées les unes des autres par E' (c'est-à-dire que 

 deux au moins de ces itérées D„ et D„^.J,■ sont dans une même région du plan 



C) Sauf peu|,-êlre deux points exceptionnels en plus. 



