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les êtres analytiques constitués par l'ensemble des valeurs de ces fonctions. 

 Nous emploierons un langage géométrique en considérant chaque fonction 

 comme représentée par nn point d'un certain espace idéal. Des fonctions m, 

 «', U, V seront ainsi représentées par des points que nous désignerons par 

 c<, h^ A, B. La distance d de deux points a et A sera définie par la formule 



(i) «i-= / [U(,9) — u{s]\-ds. 



Si la fonction U varie de manière que cette quantité tende vers zéro, nous 

 dirons qu'elle a pour limite u, bien qu'il puisse y avoir des valeurs de s 

 (formant un ensemble de mesure nulle) pour lesquelles U(*) ne tende 

 pas vers m (5). 



Des définitions précédentes résultent celles des expressions sphère, ligne 

 continue, longueur d\inc ligne. On peut démontrer que si la fonction U 

 varie de manière que A décrive un chemin de longueur finie, elle a une 

 limite, ce qu'on- peut exprimer en disant que A a une limite. 



1. Considérons maintenant entre les fonctions U et \ , ou ce qui revient 

 au même entre les points A etB, une correspondance vérifiant les conditions 

 suivantes : 



a. La fonction V est une fonctionnelle de Ij, uniforme, continue ., et 

 admettant une différentielle, c'est-à-dire que, u étant donné, on peut trouver 

 une fonctionnelle linéaire ov{s) de om = U — u, fonction de 5, telle que la 

 distance entre les points représentant V et i^ -h o(^ soit, lorsque II tend 

 vers u (et V vers v\ infiniment petite par rapport à celle des points a et A. 



b. ^inversion de la correspondance est toujours possible localement , c'est-à- 

 dire que a étant donné on peut entourer le point correspondant b d'une 

 petite sphère telle qu'inversement à chaque point B intérieur à cette sphère 

 corresponde un point et un seul d'un petit volume entourant a. 



Cette condition peut être décomposée en deux, d'une part la possibilité 

 de l'inversion de la correspondance linéaire entre lu et oç', d'autre part, 

 ou étant obtenu, la possibilité d'exprimer U, par exemple par une méthode 

 d'approximations successives. Les travaux de MM. Volterra et Fredholm 

 sur les équations intégrales, et ceux de M. Volterra sur les fonctions de 

 lignes implicites, ont mis en évidence l'importance et la généralité des cas 

 où cette double condition est réalisée. 



Lorsque la relation entre hi et ov peut être résolue par rapport à om, en 



