SÉANCE DU 20 JANVIER 1919. l5l 



ce sens qu'à toute détermination de ov intégrable et de carré intégrable 

 correspond une détermination de ^u intégrable et de carré intégrable, on 

 peut démontrer qu'il existe une quantité positive [x indépendante de Sp telle 

 que 



f [oi-{s)Yds>iJ.' f [6u{s)Yc/s. 



c. Lorsque A est intérieur à la sphère de rayon p ayant pour centre 

 l'origine (point représentatif de u = o), [j. admet une limite inférieure posi- 

 tive U.p. 



d. L'intégrale I ix.^dz croit indèfinimenl a\ec r, d'où il résulte que si A 



décrit un chemin de longueur infinie, B ne pourra pas décrire un chemin 

 de longueur finie. 



Sous ces conditions, l'inversion de la transformation considérée est possible 

 et uniforme dans tout V espace. 



Pour démontrer qu'elle est possible, il suffit de montrer que si B se 

 déplace du point b^ correspondant à «o à un point quelconque b^ en suivant 

 un chemin de longueur finie, il ne peut exister sur son parcours un point b 

 telle que l'inversion soit possible avant b et impossible après. En effet, si 

 elle est possible avant b, le point k décrit, lorsque B tend vers b, un chemin 

 de longueur finie (condition r/), et par suite a une limite (remarque finale 

 du paragraphe 1); mais alors l'inversion est possible un peu au delà de b 

 (condition />). 



Pour démontrer que l'inversion est uniforme, il suffit de montrer que si B 

 décrit un contour fermé commençant et finissant en un point />, il est impos- 

 sible que A décrive une ligne ouverte a^a^. Or, s'il en était ainsi, on pourrait 

 déformer le contour décrit par B, sans changer le point b, de manière à le 

 réduire à ce point; le chemin correspondant décrit par A devrait aussi se 

 réduire à un point, ce qui n'est pas possible, car d'après la condition b ses 

 extrémités ne peuvent se détacher des points a^ et «, . 



3. Généralisation. — On peut de bien des manières généraliser le théo- 

 rème précédent en modifiant les conditions de continuité imposées aux 

 fonctions U et V et la définition de la distance. On peut même envisager 

 que l'on impose à ces fonctions des conditions d'égalité. Ces conditions 

 peuvent n'être pas les mêmes pour la fonction U et la fonction V, et les 

 définitions de la distance peuvent être différentes pour les domaines E 



