ID2 ACADEMIE DES SCIENCES. 



et E' décrits respectivement par A et B, lorsque ces conditions sont 

 vérifiées. 



Si, par exemple, on veut étudier l'inversion delà relation, 



(2) V(.0= f U{s)ds, 



f 



la fonction U étant supposée intégrable et de carré intégrable, il faudra 

 supposer la fonction V continue, admettant une dérivée intégrable et de 

 carré intégrable, et de plus s'annulant pour .v = o. Ces conditions sont 

 nécessaires pour que Tinversion soit possible localement, et ensuite le pas- 

 sage du point de vue local au point de vue général est évidemment 

 possible. 



Ces généralisations appellent deux remarques : 



1° Taudis que dans Ténoncé primitif l'existence de la quantité a résulte 

 de la condition b, il n'en sera pas toujours ainsi et, en général, l'existence 

 de (j. sera une condition de plus à vérifier. 



Ainsi dans l'exemple de la correspondance (2), le nombre u. n'existerait 

 pas si l'on conservait la définition (i) de la distance. Il existe au contraire 

 si l'on conserve cette définition dans le domaine E, mais que dans E' on 

 définisse la distance d' entre h et B par la formule 



J, \ ci s ds 



ds. 



Il arrivera ainsi souvent que l'application du tbéorème soit possible, à 

 condition d'adopter une définition de la distance adaptée à la correspon- 

 dance étudiée. 



2° Il est essentiel, pour la deuxième partie de la démonstration, de 

 s'assurer que toute ligne fermée décrite par B peut se réduire à un point 

 par une déformation continue. En d'autres termes, le domaine E' doit être 

 à connexion linéaire simple. 



