SÉANCE DU 27 JANVIER 1919. 



2. Soient une identité 



2l3 



(«) 



o 



(/) 



dx dy 



et P un point singulier de coordonnées (x^y). On voit, en dérivant une 

 fois (rt) par rapport à x et par rapport à /, que si la courbe y^= o passe 

 simplement en P, la valeur de M est racine de l'équation du second degré : 



dx dy 



dx 



M 



dv 



Soient u et il' les deux racines de cette équation. Il suffît de former l'en- 

 semble des dérivées d'ordre n de l'identité (a) pour reconnaître que si la 

 courbe y = o présente en P un point multiple d'ordre w, on a, en ce point : 



oixp et/?' sont des entiers positifs dont la somme est n. 

 Enfin, si f ne passe pas en P, M s'y annule. 



Tout cela subsiste lorsque M et y sont holomorphes au voisinage de P. 

 On conclut de là, lorsque M est un polynôme de degré {m — i), 



M = 1a^f^x='y^ (a + ;3</« — 1), 

 qu'en tout point singulier P,, de coordonnées ^^j yj,, 



M ( Ci, -ni)— Pi [J-i + p\ (j'i . 



n a donc m^ équations linéaires aux inconnues a^p; les — ^^ ■ premières 



déterminent ces coefficients en supposant les p, p' connus, pourvu que 

 les points singuliers correspondants ne soient pas sur une même courbe 



de degré (m — i), et les suivantes donnent alors — - — ^^^ relations : 



(^) 



^i^ijiPil^'-^p'il^'i)^^ 



(i = \, 



/=i. 



m {m -h i) 



;j 



m {m — I ) \ 



OÙ les Qij sont des déterminants formés avec les coordonnées de 



