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ni(m ■+- 1) . . , . -, 11, , , . , 



points singuliers. L annulation de 1 un d eux exprime que les 



points singuliers correspondants sont sur une même courbe de degré (w— i ); 

 l'annulation de tous ceux qui correspondent à un même indice J expri- 



merait que h i points singuliers, sont sur la même courbe de 



degré (m — i). Ces cas sont singuliers. 



Si l'équation (i) admet une solution particulière alg«'brique /= o, le sys- 

 tème (A) où les 0,y, u,, \k'. sont algébriques dans le domaine de rationalité 

 des coefficients de X et Y, doit admettre pour les /?,, p- une solution en 

 nombres entiers positifs. 



Comme la courbe M = o ne passe (sauf des cas singuliers) que par 



ni{in -\- 1) . . , . 1 /. 1 . 



I points singuliers au plus, chaque courbe / = o doit passer au 



m (ni ~ \) , . 



moins par h i de ces points; pour autant de couples {pi, p^) la 



somme Pt-\- p'i doit être différente de zéro. 



Enfin, comme en tous les points singuliers qui ne sont pas des nœuds 

 (où u/ : (X est un nombre rationnel positif), il passe au plus deux branches 

 d'intégrales algébroïdes (d'après les recherches de MM. Poincaré et 

 Emile Picard), on peut dire que si f = o est irréductible, on a en ces 

 points p^i, p'^i. 



3. Le système (A) possède, en général, ^ solutions fondainentales dont 

 toutes les autres sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers posi- 

 tifs. On peut donc affirmer qu'une fonction algébrique (ou holomorphe)/", 

 qui satisfait à l'identité 0.{f) = M/ où M est un polynôme, donne pour M 

 une expression a. M, -h . . . + a/^^A où les M, correspondent aux solutions 

 fondamentales, les a étant des entiers positifs. 



La connaissance de M fixe la multiplicité possible de chaque point sin- 

 gulier pour la courbe /= o. Lorsque /est un polynôme irréductible, les a 

 doivent être choisis de manière que tout point aytre qu'un nœud ait au plus 

 la multiplicité 2, comme on l'a vu plus haut. Cela limite, parfois, les 

 entiers a et le nombre des cas à étudier. 



Si l'intégrale générale de (i^est algébrique, on peut l'écrire ^ = const. 



et supposer fet g irréductibles et ne passant que par les nœuds; il y aura 

 donc au moins une identité 



«1 Ml + . . . -haA-M^. :^ (iiMi 4- . . . + j3aMa, 



