SÉANCE DU 27 JANVIER I919. 21 5 



OÙ les a et les p sont choisis de telle sorte que les nœuds seuls se présentent 

 dans les deux membres, qui s'annulent aux autres points. 



Si l'on ne peut former avec les M,, qui sont connus, une identité satis- 

 faisant à ces conditions, l'intégrale générale n'est pas algébrique. 



Lorsqu'il existe seulement h solutions particulières algébriques irréduc- 

 tibles, le système (A) admet des solutions dépendant de h entiers positifs 

 arbitraires : le nombre h est donc au moins égal à /î; on sait que ce dernier 

 , . 1 «î ( m -1- I ) 



nombre atteint au plus • 



Je ferai observer, en terminant, que dans les recherches antérieures (sauf 

 celles de Darboux), recherches qui portent surtout sur Vintè^rahilité algé- 

 brique de (i), on n'avait envisagé que le voisinage d'un point singulier et le 

 quotient Y : X, 



Dans la recherche actuelle interviennent, simultanément^ tous les points 

 singuliers et les deux polynoTnes \ etY eux-mêmes . C'est ce qui explique la 

 possibilité de résultats nouveaux. Je reviendrai ailleurs, en détail, sur les 

 applications particulières. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les polynômes d' approximation 

 et l'existence des dérivées. Note de M. Paul Montel. 



Les recherches de MM. Lebesgue, de la Vallée Poussin, S. Bernstein, 

 D. Jackson ont mis en évidence le lien étroit qui rattache les propriétés 

 différentielles d'une fonction d'une variable ^ l'ordre de la meilleure 

 approximation ]J-{n) de cette fonction par un polynôme de degré inférieur 

 ou égal k n. 



1. Soit P(^) un polynôme de degré n, à coefficients réels ou complexes 

 dont le module ne dépasse pas M pour tous les points du segment ( — i , 4-1) 

 de l'axe réel. Les modules des dérivées d'ordre entier de ce polynôme 

 ont, en chaque point du plan et en particulier sur ce segment, des limites 

 supérieures que l'on peut exprimer en fonction de M et de n. Cette propo- 

 sition a été d'abord obtenue par M. Dulac en 1908. Elle a été précisée 

 en 191 2 par M. S. Bernstein au moyen d'une étude approfondie de cer- 

 tains polynômes de Tchebichef. ] 



On obtient des résultats analogues à l'aide de la représentation con- 

 fortne 



