2l6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



qui fait correspondre aux points du plan des ce où l'on a effectué la coupure 

 rectiligne (— i, + i) les points du plan des js intérieurs au cercle z = i ('). 

 Introduisons la dérivée généralisée de Riemann-Liouville pour un ordre 

 quelconque a, entier ou non. On est alors conduit à la proposition générale 

 suivante que j'énoncerai pour un polynôme à deux variables P (a?, y) : 



Soit P(x, y) un polynôme de degré m en x et de degré n en y dont le 

 module est inférieur à M dans un domaine (F). Pour tous les points d'un 

 domaine quelconque (F') intérieur à (F), le module de la dérivée D*.;rfp est 

 inférieur à km'^n^^A, k désignant une constante indépendante du polynôme. 



2. Soient/ (a?) une fonction de la variable x et A^" la différence d'ordre r 

 de cette fonction pour les accroissements h^ ih^ . . .^ r h donnés à x. Si le 



rapport -jj- est borné, cette fonction peut être approchée par un poly- 



A 

 nome de degré n tel que \i-{n) <C — ; on en déduit, à l'aide de la propo- 

 sition précédente, l'existence pour f{x) de toutes les dérivées d'ordre 

 inférieur à ;•. On arrive au même résultat en remplaçant le rapport -jy par 



A"'' 

 le rapport y^> dans lequel a désigne un nombre quelconque inférieur à r. 



Donc : 



A"'' 

 Si, pour une fonction f (^x) , le module du rapport -j^ ((x.èr)est borné dans 



l'intervalle (— i, -h i), /« fonction f(x) possède une dérivée d'ordre quel- 

 conque inférieur à ol pour tout point x intérieur à cet intervalle. 



f (j; ^ li\ fia;) 



Par exemple, si le rapport ^ • est borné, M. Lebesgue a 



établi que la dérivée f'{x) existe presque partout; si le rapport 



f{x 4- 2/0 — 2/{,T + h)+f{x) 



est borné, pour une valeur £ positive aussi petite que l'on veut, la 

 dérivée f'{x) existe partout. Si la dérivée d'ordre entier r existe et 

 satisfait à une condition de Lipschitz d'exposants, toutes les dérivées dont 



(') J'ai communiqué celle méthode à M. Dulac en juillet 1908. Elle a été, depuis, 

 signalée et utilisée par M, Marcel Riesz seulement pour le calcul du module maximum 

 de P(j?) en un point du plan(^c^a mathematica, 1916, p. 34i). 



