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l'on sait résoudre en nombres entiers, autrement dit les courbes algé- 

 briques (i) dont on sait trouver les points e/i^/ez-i- (c'est-à-dire à coordonnées 

 entières) ne formaient jusqu'ici que des catégories peu nombreuses. J'en ai 

 récemment indiqué une nouvelle très étendue en complétant un résultat 

 établi par M. A. Thue, dont la démonstration présentait une lacune, et le 

 généralisant beaucoup ( ' ). Je rappelle l'énoncé obtenu. 

 L'équation irréductible 



9/«(^'. y) + 9s{^, y) + 9.-1 (-2.% /) -h . . . + 9o = o, 



où ©/ est un polynôme homogène en x, y de degré i à coefficients entiers 

 (s<^7n), et o„j est de plus un polynôme irréductible, ne peut avoir une 

 infinité de points entiers que si 



stt7ii — I, quand m=2mi, et sùnii, quand /« r= 2 /;?i + i. 



, II. On verra de suite que ce théorème est indépendant de ceux que je 

 vais indiquer, notamment du plus important : on peut, grâce à un nombre 

 fini d'opérations, trouver les points entiers des équations (i) indécompo- 

 sables, de degré ti~^i^ et de genre zéro ^ c'est-à-dire déterminer les points 

 entiers des courbes unicursales. 



L'équation (i) peut être supposée irréductible; si elle est décomposable, 

 dans le cas le plus général, elle a moins de n^ points rationnels. 



Envisageons le cas où elle est indécomposable et de genre zéro. 



Les travaux de MM. Ililbert, Hurwitz et Poincaré permettent de trouver 

 les points rationnels. S'il y a moins de /z — 3 points simples rationnels, ce 

 qui exige n pair, il y a un nombre fini de points entiers. S'il y a au moins 

 n — 3 points simples rationnels, il y en a une infinité correspondant aux 

 valeurs rationnelles d'un paramètre /, fonction rationnelle à coefficients 

 entiers de a; et j; on a 



OÙ/",, f.if-i sont des polynômes à coefficients entiers n'ayant pas de diviseur 

 commun, de degré j^n^ l'un étant de degré n. Soit 



t=t 



/,(J^) = ^Mp,ç) 



(') Nouvelles Annales de Mathémali,ques^ 4" série, t. 16, août J916. 



