SÉANCE DU 27 JANVIER 1919: ^H> 



(p, q premiers entre eux, p positif ou négatif) ; on a 



"""/.(/>, ^y)' ^~MP>qy 



pour tout point entier simple, /,(/>, q) divise /.{p^ ^\^^A^P\^}i . 



Soit z., le degré de/(0; P«^^ application de la théorie a gebnque et 

 arithmétique du plus grand commun diviseur et grâce a l identité de 

 Bezout, je trouve : 1° que si o < .. < ., le nombre des pomts entiers est 

 limité, p, g étant solution d'une équation /.(/J, ^y) = ± L»;/.^^ ^' f\."f 

 entier positif dont la valeur est hmitée en fonction des coefficients de {i), 

 elg étant lui-même limité; 2" que si n^ = n, une circonstance analogue 

 se présente, sans que q soit forcément limité; mais le théorème du n l 

 s'applique. On conclut que l'équation (i), indécomposable et de genre zéro, 

 a un nombre fini de points entiers, sauf dans les cas exceptionnels suivants, 

 qui peuvent fournir une infinité de pareils points, ainsi que le montrent des 

 qui peu k^ —pnn^f • o" /• — y('M/ + ^)", cas qui peut 



exemples étendus : i" /, = Jv — const., ^ /, — y-K^y^^ -r- ^ j , 1 r 



se ramener au précédent; 3" n étant pair, /. = a(Mr--f- N^ + P/; a, M 

 N P entiers, et dans le troisième cas, N^ - 4MP positif et non carre De la 

 on conclut ensuite, en distinguant d'assez nombreux cas, une méthode pour 

 déterminer les points entiers par un nombre fini d opérations. 



III Les mêmes procédés sont utilisables pour trouver les valeurs ration- 

 nelles de / qui, dans (2), rendent . seul entier (/.et /, étant premiers 

 entre eux), ou à la fois a;, y entiers (/„y„ /. sans diviseur commun), les 

 polynômes étant ici absolument quelconques et à coefficients entiers. 



Soit encore l'équation à coefficients entiers 



<p„(:r. j)+ cp;.(j:, y)=o (/.■<")^ 



où o„ 9. sont premiers entre eux, et qui est irréductible ; si lx = Y, 



on obtient la solution complète en entiers quand le nombre des points 

 entiers est limité. Il n'en peut être autrement que si ^ 



(3) o„^a(My + N^)", ou, n élaiU pair, ç„= a(My^+ N.rr + P:r^)^ 

 Soitleconoïde. = ^^.où/.,Asonthomogènes,dedegré«,premiers 



