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il existe un groupe de polynômes N,, No, ..., N^, scuis faisant à la condi- 

 tion (3 ) ; ces polynômes ont toutes leurs racines réelles distinctes et respective- 

 ment comprises dans les intervalles (l\). Il ne peut y avoir d'autre groupe satis- 

 faisant à la condition (3). 



En effet, la condition (3) permet de trouver, à une même constante près, 

 les coefficients des polynômes N,, No, ..., N^,. Supposons que les poly- 

 nômes N,, No, .... N^, ainsi trouvés n'ont respectivement que r,, t.,, ..., v^, 

 racines distinctes comprises dans les intervalles (4)- Désignons par y.\, 

 Cf.'.,, ..., a', les T/ racines de N^ comprises dans l'intervalle (a,-, [i^) et consi 

 dérons le polynôme 



Ce polynôme, pour que notre proposition soit en défaut, doit être d'un 

 degré moindre que /i/. On pourra alors [par exemple à l'aide des facteurs 



(a; — [i,), (.T — |3o), ..., (x — l^y.^i) en totalité ou partie] déterminer un 

 polynôme q(.r), de degré/? — i au plus, tel que, en prenant 



lesp expressions 



gardent toutes le même signe pour x compris respectivement dans les inter- 

 valles (4). La condition (3) ne pouvant donc pas être satisfaite, il faut 

 avoir ç^, = /?, , v.^-= n.^_, ..., Vp=np. Si les polynômes N',, NI, ..., N|, satis- 

 font aussi à la condition (3), alors les polynômes N, -f-XN', , No -h XN;, ..., 

 Ny, -hXNj, satisferont aussi. En choisissant la constante A de manière à 

 réduire IV/H-AN] au degré w/ — i, on prouvera, comme plus haut, que la 

 condition (3) ne pourra plus être satisfaite. 



1. On peut donner une autre extension des fractions continues algé- 

 briques et se proposer de déterminer le polynôme P(-i^) de degré 

 V = /« , + 7io H- . . . + n^,, tel que 



PS,-E,=: [——,] {i = i, 2, ...,/.), 



en désignant par S,, So, ..., S^ des séries de la forme (-) et par E, 

 Eo, . . ., E^, les groupes des termes entiers en x. 



