SÉANCE DU 3 FÉVRIER 1919. 265 



Ea nous plaçant dans le cas particulier considéré plus haut, le polynôme P 

 jouit des propriétés suivantes : 



a. Il est le seul polynôme de degré v satisfaisant aux conditions 



/ Oi{.c).t:'''P d.V =10 (/.• = 0, I , . . . , /i/ — i;/ = 1.2, ...,p). 



3. Les racines du polynôme P sont toutes réelles, distinctes, respecti- 

 vement /^,, /2., . ..,/«,, dans les intervalles (4 ). 



Y- Le polynôme P peut être déterminé lorsque Ton connaît les poly- 

 nômes X',^ (.?;) de degré m, tels que 



I 0,( .^^ ) .^-"^" X'„ dj: =^ O ( /. = o, I , . . . , /?i — I ; i =: I , ■>. , . . . , p). 



0. Les racines du polynôme P interviennent dans la recherche de l'ap- 

 proximation simultanée des intégrales I,, t .,..., I^,, 



1,=: I 0,{x)J{x)djC (<=:!, 2, ...,/7), 



la fonction /'( .r ) admettant un développement taylorien convergent dans 

 les intervalles (4 ), par des intégrales J,, J., . . ., J,,, 



.>.■ 



i,— ^ o,\x)^{j:)dj: (< = i, 2, . . . . />), 



■ y-i 



*\^{x) étant un polynôme de degré v — r, respectivement avec le degré de 

 précision v -r rif — i , v + tî.^ — i , . . . , v -h /i^, — i . 



Nous avons démontré ( ' ) ces propositions dans le cas particulier 



Les démonstrations données s'étendent facilement au cas plus généial que 

 nous venons de considérer. 



(') Comptes rendus, t. M'yl, 1916, p. 121, et l. 167, 1918, p. 629. 



