338 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ h esl un paramètre arbitraire. Les plus intéressants d'entre eux sont ceux 

 où l'équation de Riccati 



p'+ p-=: 9 + h 



[et par suite aussi l'équation (H)] s'intègre par quadratures ; nous allons 

 montrer comment on détermine la fonction o dans tous ces cas. 



1. L'équation de Riccati admet ici deux solutions - ~ ? où R est un 

 polynôme en A, de degré n 



et il un polynôme en h de degré {in + i) à coefficients constants. 

 La fonction R satisfait à l'équation du troisième ordre 



(A) R'"— 4R'(©Hr/0 — 2R©' — O, 



ce qui donne, pour déterminer cp, une équation d'ordre {in-\- i), £.«+,, 

 dépendant de n constantes arbitraires Co, . .., c„. C'est cette équation que 

 nous avons réussi à intégrer. 



En observant que (A) est équivalente à son adjointe, on en conclut 

 l'intégrale première quadratique 



(B) R'-^— 2RR"+4R^(9 + /0 = i2. 



Les n premiers coefficients de il sont des fonctions de c,, ..., c„; les 

 {n -f- 1) derniers ^Z,, . . ., dn^^ sont arbitraires et représentent autant d'inté- 

 grales de Eo^+i, entières en 9, 9', .... ^^(-«+'). H reste donc à intégrer une 

 équation d'ordre n, avec {-m + i) constantes. 



2. Posons 



R = //" + R,/^"-i + ...=. (/, - ,3,) (A — «2) ... (A - '.)„); 

 les w, sont des fonctions algébriques de o, o', . . ., o -'*-- et l'on aura 



R' w', oj',. 



R /« — ()ii h — (,)„ 



En observant que les racines // = w, annulent R'- — il d'après/ B), c'est- 

 à-dire l'un des facteurs R'+ sjil, R' — \il, on pourra écrire les n équations 



£iW/ I 



-;=r = ( ^ z=r I , . . . . n), 



\/^i (w,— W,)...(0),-CO„) ^ » . ^ 



où ili= i2{C0, ), £,= ± I. 



