SÉANCE DU 17 FÉVRIER 1919. ' SSg 



On déduit de là les u intégrales cherchées w, sous la forme 



-^^-^■••-^ ,7T- ^^^>- >^=0, I, ...,/^ — 2), 



a. V'-^i Ja„ v/^« 



à condition de fixer les chemins suivis dans l'intégration lorsque £^ = — i 

 de manière à remplacer l'intégrale I rectiligne par 2A — I, A désignant 



une constante convenable; ce qui donne ( - j systèmes, différents de forme. 

 3. La fonction o, qui est donnée par 



(01+ Gj^-i-. . .+ 0)„=:r — Ri = — C,H 9, 



et les fonctions symétriques élémentaires des w [de même que celles des v/Û/J 



sont donc des fonctions ahéliennes (hyperelliptiques) des arguments z/^, 



«„_, 4- J7, c'est-à-dire des fonctions uniformes, mèrornorphes , de ces éléments 

 possédant in systèmes de périodes ('). La fonction Ç3 de la variable x n'est 

 pas en général périodique, mais elle reprend sa valeur quand on ajoute 

 simultanément à a;, Mq, ..., m„_2 des périodes correspondantes : ceci définit 

 le groupe de monodroniie des intégrales m^. Le cas // = i donne pour o la 

 fonction inverse de l'intégrale elliptique de première espèce. 



Un raisonnement analogue, mais portant sur les autres racines E^, ..., \n+\ 

 de Téquation R'- — (} := o donnerait {n 4- i) intégrales transcendantes 

 de EortH-, ; le théorème d'Abel montre aisément que ces intégrales s'expriment 

 avec les précédentes et les intégrales algébriques </,, . . ., d„^^. 



Les intégrales fondamentales de Téquation (H) sont \/Re '^ "; on 

 observera que l'on a 





\/a{> 



Cette somme d'intégrales de troisième espèce est la somme d'un loga- 

 rithme de fonction abélienne et d'une fonction abélienne- Les transfor- 

 mations subies par les intégrales de (H) se déduisent de là. 



(') Weierstrass, Journal de Crelle^ t. 47 et 52. 



