SÉANCE DU 24 FÉVRIER IQIp- 887 



CORRESPOND AIVCE . 



M. le 3I1MSTRE DE l'Ixsïructiox piBLiouE invite l'Académie à désigner 

 Tun de ses Membres qui remplacera M. Th. Schlœsing dans la Commis- 

 sion technique de la Caisse des recherches scientifiques. 



M. Jeax Effro.vt, élu Correspondant pour la Section d'Économie rurale, 

 adresse des remercîments à l'Académie. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une propriété des fonctions de variable 

 complexe. Note de M. Arxaid Dex.ioy, présentée par M. Painlevé. 



Sur l'ensemble de leurs points singuliers, les fonctions analytiques ou du 

 moins les nombres limites déterminés par elles, perdent le caractère de la 

 monogénéité. Ces nombres ne sont plus que des fonctions de deux variables 

 réelles définies sur des ensembles linéaires ou discontinus. Il est à présumer 

 que l'étude des singularités des fonctions analytiques tirera parti de la 

 théorie des fonctions de variables réelles, et spécialement des notions et 

 des résultats concernant les nombres dérivés de ces dernières fonctions. Je 

 me propose de confirmer cette opinion en démontrant le théorème ci-après. 



Une fonction analytique holomorphe et bornée au voisinage et dhm coté 

 d'une ligne rectifiable L, possède une valeur limite unique sur tout chemin 

 aboutissant à L ( du côté considéré) sous une incidence nulle ou aiguê\ sauf 

 exception éventuelle pour des chemins aboutissant à un ensemble de longueur 

 nulle situé sur L. 



\ oici la marche de la démonstration. 



Soit D un domaine où / est holomorphe et bornée et dont le contour G 

 est simple et admet L comme arc. Nous choisissons le sens des arcs crois- 

 sants sur L, de façon que D soit du côté positif (gauche) de L. La ligne 

 simple L étant rectifiable, les coordonnées x et v d'un de ces points ont, 

 par rapport à l'arec, des dérivées dont la somme des carrés est i, exception 



