SÉANCE DU '24 FÉVRIER I919. ^89 



aulrj arc 7 régulier, sur lequel / est holomorphe. Donc 



i r/(il./- ^ _i_ Tilill f/r-=/-(.r) dans D (o hors de D). 



Pour montrer la propriété en vue, il nous suffit donc d'établir le théo- 

 rème suivant : 



L étant une ligne reclifiahh simple, et ofC) une fonction bornée sur L et 

 approximativement continue au point ordinaire C^deL, si 



la différence ■l{x')--l{x) tend vers zÇC,), si x -^ x =- ;il et si x tend 

 vers 'Co du côté positif (gauche) de L, suivant un chemin d incidence nulle ou 



ai nue. 



Voici une conséquence du théorème énoncé : 



Si une fonction analytique uniforme f{^, bornée dans un domaine , y pos- 

 sède un ensemble singulier E, parfait discontinu, de longueur positive fmie, et 

 situé sur une ligne rectificd^le (de longueur finie) L, en tous les points .de L, 

 sauf en V exception éventuelle de points, formant sur E un ensemble de lon- 

 gueur nulle, la fonction admet pour tout chemin d'incidence nulle ou aigue^ 

 aboutissant en^. deux valeurs limites A('Ç).fXO -^^«^'^'^^ ^'"'^^ '''' "^'" 

 positif, Vautre au cùté négatif de h, et la différence 



est régulière dans D, le sens de parcours de 'C sur E étant celui deL. 



J'ai donné aux Comptes rendus (août 1909) un exemple particulièrement 

 simple de fonction /•(:;) relative à un ensemble Erectiligne. 



Entin, le théorème principal vaut pour ime fonction harmonique ï" {x, y), 

 comme on le voit en l'appliquant à e^ % si h(z.) est une fonction analytique 

 admettant P pour partie réelle. 



