SÉANCE DU 3 MARS I919. 4^3 



dépendant d'un paramètre £, et possédant n-h i points réguliers 



xit = £~' e " (A = I, . . . , «) et ^^m 00; 



et j'ai montré que, lorsqu'une certaine équation caractéristique, /(.y) =^ o, 

 possède m racines distinctes, 5y, sommets d'un polynôme convexe II, on 

 peut subdiviser l'extérieur d'un cercle F en mn secteurs 'Lk^k illimités, à 

 l'intérieur de chacun desquels on sait calculer m -f- i intégrales 



Y/,,/, (A- = i, .-. ., 7«) et Y/,^.i,/„ 



qui sont des traces d'intégrales canoniques de E. Je vais indiquer des consé- 

 quences de ces résultats. 



1. Dans l'un quelconque des secteurs, soit 3^/,, a, les intégrales \ sont liées 

 par une relation à coefficients constants 



A la vérité, chaque Y n'est définie qu'à un facteur de proportionnalité près; 

 mais quel que soit le choix adopté pour ces facteurs, les expressions 



conservent des valeurs fixes que nous appellerons les paramètres an point 

 irrégulier. Or il est aisé d'interpréter la signification des paramètres | dont 

 il y a d'ailleurs N = {m — i)(mn — m — i ) de distincts |. 



Considérons le sous-groupe G du groupe de monodromie de (E) engendré 

 par les substitutions relatives à a;,, ..., :c,j, x„; ce sous-groupe possède 

 (m- ~ ï) (n ~ i) invariants, au sens de Poincaré, définis d'ailleurs à une 

 transformation ponctuelle près. Or on peut constituer un système complet 

 d'invariants indépendants au moyen : i" de (/?? — i)n des racines des équa- 

 tions fondamentales déterminantes relatives aux diflérents points £c^; 2° de 

 combinaisons analogues à (2), formées au moyen des relations analogues 

 à (i) qui existent entre les intégrales canoniques de (E). Par/ni ces invariants 

 (qui dépendent de £) les premiers présentent £ = comme singularité 

 essentielle et n'ont plus de sens après le passage à la limite; au contraire, 

 les seconds^ au nombre de N, tendent précisément vers les N paramètres du 

 point irrégulier^ en vertu même des résultats que j'ai rappelés. 



2. Ajoutons encore que, parmi les intégrales figurant dans ( i) et définies 



G. R., igiy, V Semestre. (T. 168, N° 9.) OO 



