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contient r' et F, défini par l'équation 



OÙ cp et 'sj; sont deux solutions fondamentales de (F). 11 est aisé d'en 

 indiquer les divers cas de réduction. Parmi ces derniers, les plus immé- 

 diats correspondent à l'existence d'une intégrale de (F), rationnelle en y', 

 ;p(j/)=ç.; l'autre intégrale -p, s'obtenant alors, d'après une remarque 



de Jacobi, par la quadrature '\) = / -^ Jf — -\ nous allons montrer, 



/■ 



dp 



à titre d'exemple, comment on peut, méthodiquement, former tous ces cas, 

 et définir la fonction F(x,y) correspondante. 



2. Supposons d'abord 9 = (^'oY'" -^ — ^ij" ' + • • • ; ce polynôme en y' 

 devra vérifier identiquement la condition 



do à(a , ào „ 



:r^ + T^ J + T^ F = o. 



d.x ay "^ Oy 



Il en résulte entre les «„, «,, ... des relations dont les deux premières sont 



oy ôx oy 



et dont l'ensemble peut se remplacer /)âfrM/îe équation aux dérivées partielles 

 d'ordre n, à une inconnue X et aux variables x,y, les «,• s'exprimant sous 

 forme entière avec A et ses dérivées. C'est cette équation (E„) que nous 

 allons intégrer. 



Les transformations Y = y.y + [^, X = y, où a, [3, y sont des fonctions 

 de X, choisies de manière à conserver la forme de (F), permettent de 

 prendre «„= i, «, == o. Les autres relations entre les ai peuvent se rem- 

 placer par 



d.x oy 



où (Mi est l'une des racines de -j^ = o, et où l'on a 0, = ©( w,). Ces relations 



expriment que l'équation différentielle o = (D(y) a des solutions singu- 

 lières, données par dy — oj^dx = o, dont les intégrales sont cp/=const. 

 A un autre point de vue, les o, sont les variables caractéristiques de (E,^), 



