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\[ suffit de faire $ = o, pour obtenir un système de déterminations 



des A/. En posant {ji,= - <I> -t- Wi, on voit que les [jJ, forment maî système 



cornplèlernent orthogonal de l'espace à n dimensions, ayant même représen- 

 tation sphérique que celui formé par les [j./; le système général obtenu par les 

 méthodes de Darboux (') qui exigent l'intégration d'un système de 



^^ — — équations du second ordre de la forme de Laplace, à une 



inconnue, donnera l'expression générale des A/. En remarquant que les 

 équations qui déterminent ces A,- ne dépendent pas de l'indice y de ay, ou 

 que (A) est une identité en j', on en peut conclure aussi que les A,- sont 

 tels que les équations 



Al h)'{ t/9, + . . . + A„^ , r.)/;_, afû„„i ~ O ( /. rr O, I , . . . , « — 4 ), 



AiO)','-3 ci(Ui + . . .+ A„_,ol);':^ d(f>„^i= — du\ 

 A| w'i'"- <:/cpi + ...-+- A,,^, w"Ij f/'f „_i =: - * dy 



sont complètement intégTt|bles. 



Les o)/ ne dépendent que des différences des o,; on peut donc ajouter 

 une constante // à '^,, ..., o„..,, ce qui modifie les [Xy^ et les H, et prendre, 

 pour expression de A/, l'intégrale définie 



r 



(q>/+ « ) H^/(9,, ....9,,, u)6{u)du. 



où Ui et u.j sont deux constantes quelconques et (u) une fonction arbitraire. 

 De cette expression dçs A/, oi^i ligure une fonction arbitraire, on déduit, 

 comme pour l'équation d'Euler et de Poisson (qui se présente pour n = 3), 

 l'intégrale générale du système d'équations de Laplace en question. Enfin, 

 les expressions générales des A^ peuvent aussi s'obtenir, sous forme d'inté- 

 grales définies, ^«r inversion des intégrales définies qui déterminent tes périodes 

 de V intégrale '\i, comme fonctions de o. 



4. L'étude du cas où 9 est rationnel en y' n'exige que des modifications 

 de détail. La même méthode permet aussi de former effectivement tous les 

 cas où l'équation des lignes géodésiques d'une surface admet une intégrale 

 première rationnelle par rapport à la dérivée première. 



(') <j. Darbouv, Systèmes orthogonaux et coordonnées curvilignes, Livre II, 

 Gliap. l. 



