SÉANCE DU lO MARS I919. 5o3 



courbe sG joignant z à l'infini. Si maintenant s décrit une couronne F arbi- 

 trairement mince comprise entre deux cercles quelconques de centre O (' ), 

 on est sûr que tous les points du plan extérieurs au plus grand de ces 

 cercles seront balayés par le point -c7(?), quand ^ décrira T et ; variera de i 

 à H- ce. 



Considérons la famille des fonctions cp^(^) = op [z(7(z)], [i^î^so]. A 

 chaque valeur de t correspond ainsi une fonction entière 9f(s)- ^^^^ valeurs 

 que o,(-) prend dans F sont celles que o (z) elle-même prend dans la cou- 

 ronne a-(z).F. On en conclut que, quelle que soit F, il est impossible que la 

 famille des 0^(5) soit normale dans tout F, c'est-à-dire soit telle que, de 

 toute suite infinie 9,^, 9,^, ..., o,^, .. ., /, <Z2 < • • • < 4 -^=^) on puisse 

 extraire une suite tendant vers une limite analytique dans F. On reconnaît, 

 en effet, que, t„ tendant vers l'infini, toute fonction limite d'une suite 9, ne 

 peut différer d'une constante infinie, sans quoi o(z) serait bornée autour 

 du point à l'infini. Il résulte immédiatement de là que si la famille 9^(2) 

 était normale dans F, toute fonction limite (pour t = yo) étant infinie, on 

 devrait, sous peine de contradiction, admettre que, dans F, | 9^(^)1 >- M 

 quelque grand que soit M, lorsque t '^ 1^, t„ étant choisi assez grand. Mais 

 cela équivaudrait à dire qu'en dehors d'un cercle de rayon assez grand, on a 

 |<p(:;)|> M et cela aussi est incompatible avec l'hypothèse d'une transcen- 

 dante entière 9 (^). 



La famille 9^(2) n'est point normale dans tout F, il y a donc dans F un 

 point au moins z^^, autour duquel celte famille n'est pas normale. 



Envisageons maintenant la courbe z^C et entourons ^e d'une aire circu- 

 laire arbitrairement petite iD de centre z^', lorsque / varie de i à -h ce, 

 Za'y{0 décrit la courbe z^C et l'aire 1(1). (O, qui est une aire circulaire de 

 centre ^^'7(1), semblable à cD, dans le rapport ] cr(z)|, rapport qui égale le 

 rapport des modules des centres z^ait) et z^, va balayer une bande A abou- 

 tissant au point à l'infini, contenant à son intérieur la courbe z^^C L'épais- 

 seur relative de cette bande A, c'est-à-dire le rapport entre le diamètre du 

 cercle qui la balaie et le module du centre de ce cercle, reste constante; on 

 peut la supposer d'ailleurs arbitrairement petite. Il est clair que les valeurs 

 prises par 9(5) dans la bande A, sont identiques aux valeurs prises par les 

 fonctions holomorphes Ot(z) (ilif^yz) dans l'aire arbitrairement petite <p>. 



(') On peut évidemment prendre pour F une couronne limitée par deux courbes 

 quelconques entourant chacune l'origine. 



