SÉANCE DU lO MARS I919. 5o5 



elle transforme le premier nombre en une intégrale de ligne dont on aper- 

 çoit immédiatement la forme, et le second en une intégrale double que 

 contient ^dxdy, si 



A = 



{x—yY^i>{x, .r)<I»(j, y) 



Si <l)-= P(£ï7)P(y), P étant un polynôme, l'identité ainsi transformée 

 de (i) est celle déjà rappelée dans ma Note du 9 décembre 1918 et qui 

 joue un si grand rôle dans les travaux de Jacobi et de Weierstrass; elle 

 était d'ailleurs connue d'Abel et peut-être de Legendre. 



La propriété capitale du A précédent est que le numérateur est tout natu- 

 rellement divisible par {x — y)-. 



Reprenons maintenant la transformation initiale avec 



, , . xv'^ix, r) 



' ' -^ ' X — ay I 



en désignant par a une constante d'abord quelconque. Alors A devient le 

 produit de (i — a) par 



{x —y){x- ay) {x W,, W {x, x) -^ / ^V W{y. y)] + {ay- - x^) W [.^'X^', ^) — W {y. y)] 

 {x—yy{x—.(xy)- ^"{x, x) ^\y,y) 



Le nouveau numérateur est toujours divisible, tout naturellement, par 

 (^x — yV, mais Un en est pas de même quant à la division par (^ — aj^)'; 

 celle-ci n'a lieu qu'aux deux conditions 



(2) W{ay.rj,y)r:^xV{y,y), »r(a >•, y) = C ^(j, y ), 



OÙ G est une constante arbitraire. On obtient ces conditions en écrivant 

 que le numérateur à étudier s'annule pour a? = OLy et qu'il en est de même 

 de sa dérivée partielle en x. 



Il est aisé de trouver des solutions particulières du système (2) et même 

 des solutions telles que le nouveau A soit, une somme de produits dont 

 chaque facteur ne contient que x ou y, d'où une généralisation considérable 

 du théorème d'échange déjà invoqué; mais de telles généralisations ne sont 

 que des cas très particuliers des algorithmes étudiés par M. Emile Picard, 

 quant à la classification des intégrales doubles de seconde espèce. 



Si les conditions (2) sont satisfaites, l'intégrale double qui contient le 

 nouveau A ne contiendra évidemment point les lignes d'infini x=y et x=c/y 



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