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alors que, d'après (i), elle sera cependant égale à une intégrale de ligne 



OÙ, en général, P et Q contiendront ces lignes. C'est en ceci que consiste la 

 plus grande des difficultés du problème de la réduction au nombre minimum 

 des intégrales doubles de seconde espèce. 



Supposons donc que notre intégrale double soit attachée à une surface 

 algébrique; la réduction des intégrales doubles de seconde espèce attachées 

 à cette surface s'effectuera de manières différentes, suivant que les condi- 

 tions (2) seront ou ne seront pas réalisées. 



S'il arrive, de plus, que a figure dans W et que les conditions (2) ne 

 soient satisfaites que pour une certaine forme arithmétique de a, on aboutit 

 à une explication déjà très générale d'un fait capital mis en lumière par 

 M. Emile Picard : les mêmes sur/aces, dépendant de W alors que W dépend 

 de a, suivant la nature arithmétique de cette constante a., admettent des réduc- 

 tions totalement différentes quant au nombre de leurs intégjrdes doubles de 

 seconde espèce. 



Comme exemple, on peut prendre la surface (P et A étant des polynômes) 



OÙ (JL, V, ^—^ — sont entiers et oit a est j-acine p''"'^ de F unité. Si celte dernière 



condition, relative à a, n'était pas satisfaite, la surface n'en existerait pas 

 moins, mais l'intégrale double qui lui a été attachée ne perdrait plus les 

 lignes d'infini x = y, a? = ay. 



M. Emile Picard a donné des exemples d'une autre nature, fondés sur la 

 multiplication complexe. 



J'entrevois que des considérations arithmétiques très diverses, différant 

 beaucoup et de la multiplication complexe et de la théorie des racines de 

 l'unité, pourraient conduire à des conclusions semblables aux précédentes. 

 Ce serait faire un pas capital que de donner une théorie générale des solutions 

 du système ( 2). 



Enfin, ce qui peut sembler prématuré, mais ce qui, cependant, découle 

 naturellement de la méthode indiquée dans ma Note du 9 décembre, c'est 

 que les résultats précédents s'étendent aisément aux intégrales d'ordre de 

 multiplicité quelconque et, par suite, aux hypersurfaces algébriques. 



