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sphère, la correspondance est de première espèce; dans le second cas elle 

 est de seconde espèce pour toute la région où le rayon du parallèle reste 

 compris entre « et i. ^ 



3. Le but de cette Note est de montrer que, dans Tétude des surfaces 

 applicables l'une sur l'autre, l'application de seconde espèce constitue un 

 phénomène très général et non exceptionnel et qu'il existe même des couples 

 de surfaces réelles S et S, applicables l'une sur l'autre telles que tout point 

 réel de chacune ait pour correspondant un point imaginaire de l'autre. 



L'exemple le plus curieux est fourni par les surfaces applicables sur le 

 paraboloïde de révolution. M. Darboux indique au Tome 3 de sa Théorie 

 des surfaces comment à toute courbe sphérique F réelle ou imaginaire cor- 

 respond, à une translation près, un couple et un seul de deux surfaces /éeZ/ev 

 S et S, applicables toutes deux sur le paraboloïde x- -^ y- = ^p'. Quelle 

 que soit la courbe F on obtient ce curieux résultat : 



a. L'une des deux surfaces, S par exemple, peut être réalisée en tissu 

 inextensible et parfaitement flexible, puis être étalée complètement sur 

 une certaine fraction du paraboloïde; cela pourra même, en général, se 

 réaliser sans couture ni coupure; 



h. Pour l'autre surface S, chaque point réel a pour homologue un point 

 imaginaire du paraboloïde : au point de vue expérimental, rien ne peut 

 donc déceler que S, soit applicable soit sur S, soit sur le paraboloïde. 



4. La surface de révolution, définie en coordonnées semi-polaires (r, 0, :;) 

 par Féquation - — /(r), admet pour ds- 



ds- = [i -+-/■' (r)] dr' + /- r/0-. 



En égalant le coefficient de dr- à une fonction impaire arbitraire de r-, 

 j'obtiens/ par une quadrature; en faisant correspondre au point M(r, 0) 

 de la surface le point M,(/-, = ir, 6, = ïO) de la même surface, je réalise 

 une application de deuxième espèce de la surface sur elle-même. 



Je retrouve la pseudosphère avec une nouvelle application sur elle- 

 même en prenant i +/'' (/") = — • 



Si p est un entier positif non nul, l'équation 



{^.p -{-2) \/2 2/> y/ 2 /•'-'' 



définit une famille de surfaces algébriques de cej:te catégorie. 



