54o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



les intégrales étant prises le long de la ligne brisée joignant les points + ?ac, 

 G, I, i-h ico; cependant le point singuliers = i doit être évité par un petit 

 quart de cercle dirigé vers le haut. En nous servant de la relation fonction- 

 nelle bien connue que vérifie la fonction ^C(s') pour transformer la dernière 

 intégrale, nous obtiendrons par un calcul assez long la relation nouvelle 



V 



(.)^_L^.y ! î_ V 



mp'^{z — log/:»'") -mi Au mp"^{z + log/>'") 

 I C + log:î7i\/ i\ I f / = \ 



- e- 





qui est valable pour — - <^ arg^ <^t:. Au second membre, les sommes 

 s'étendent. à toutes les puissances p'" des nombres premiers /j; à l'exception 

 de la dernière intégrale, tous les termes représentent des fonctions de z 

 partout uniformes. Or, en appliquant un théorème dû à Hermile, on trouve 

 immédiatement que la fonction 



\[ 



clL 

 7 t-\~ 



est partout uniforme; elle est aussi holomorphe à lorigine, de manière 

 qu'on pourra énoncer le théorème suivant : 



La fonction V(:?) est méroinorphe dans toute partie finie du plan des z 

 découpé suivant l'axe imaginaire de l'origine juscju à'— i^. A l intérieur 

 du plan découpé, elle n admet d'autres singularités que les pôles simples 

 r = ±log/?"'. 



La fonction 



est uniforme dans tout le plan et holomorphe (i\r origine. 



Aux points :^ = ± 2V-Ï, V = I, 2, ..., \ (:: ) a des pôles simples avec les 



résidus — ■ ( args t.\ variables avec C argument de z. Les points 



z z= — Tï ^ — '■ir.i, ... 



sont encore des pôles simples, les résidus correspondants étant égaux à — -' 



