SÉANCE DU 17 MARS 1919. 5^1 



IL Désignons par N (T) le nombre des zéros o=^?>-\~-[i satisfaisant à la 

 condition o < y < T ; on sait que 



N(T)=^(los^-.)^R(T), 



où I R(T) I < const. log. T, lorsque T tend vers l'infini. Supposons pour un 

 moment que l'hypothèse de Riemann soit vraie, c'est-à-dire que ^ = - 

 pour tous les p . Dans ce cas nous aurons, en partant de l'expression de V (z) 

 donnée ci-dessus et en y écrivant iz au lieu de z, 



d'où 



/;, et /?o désignant des fonctions holomorphes pour I :;| < log- 2. 



En combinant ce résultat avec un théorème dû à M. Marcel Riesz (' ) 



concernant les intégrales de la forme ^ a{y)e"'' dv, on parvient à la 



relation 



Par des considérations un peu plus délicates, on peut montrer encore que 

 ce dernier résultat est en réalité indépendant de Vliypothèse de Riemann. 



ÏII. Pour étudier la fonction analogue à V(>) formée avec les zéros de la 

 fonction w/,(^) correspondant à un corps algébrique arbitraire X', on doit 

 procéder de la même manière, en utilisant la relation fonctionnelle récem- 

 ment découverte par M. Hecke que vérifie cette fonction 'U(s)- La fonction 

 considérée aura des pôles simples en tous les points s = ± log(N/>)"', N/j 

 désignant la norme d'un idéal premier arbitraire du corps l\ On aura aussi 

 une relation analogue à celle trouvée auparavant pour R (T). 



(') 11 s'agit ici d'un tliéorème généralisant celui pubHé par M. Kiesz dans les /icZ« 

 maLhematica. t. 'lO. p. 349-36i, et qui m'a été communiqué par cet auteur. 



C. R., 1919, i" Semestre (T. 168, N" 11.) 7^ 



