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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Fondions entières se ratlachanl au.r 

 nombres premiers. Note de M. Michel Petrovitch, présentée par 

 M, 1 Hadamaid. 



Si dans Tintégrale définie 



(') ^" = / iii"iit 



on remplace u par diverses fonctions de t réelles, finies, continues et d'un 

 signe invariable pour l compris dans l'intervalle réel, positif et fini {a, h), 

 6n peut en former une infinité de séries de puissances 



(5) l{.r)^y.„ X-' -\ •,,-'— 



1.2 1 . 2 . o . : i 



Celles-ci représentent une classe adjonctions entières de x, du i^enre zéro 

 ou un^ rentrant dans celle dont je me suis occupé antérieurement ('). Ce 

 sont des fonctions oscillantes pour œ réel, à un nombre illimité d'oscilla- 

 tions; elles ne dépassent pas, en valeur absolue, une certaine limite finie 

 pour aucune valeur réelle, finie ou infinie, de x et tendent en oscillant vers 

 zéro lorsque lo augmente indéfiniment par valeurs réelles soit positives, soit 

 négatives; leur décroissance, pour x très grand, est au moins aussi rapide 



que celle de - où // est une quantité finie. Ces fonctions ont un nombre illi- 

 mité de zéros réels positifs et négatifs. Certaines de leurs propriétés fonc- 

 lionnelles généralisent celles des fonctions trigonométriques élémentaires 



(loc. cil. y ■ 



Dans la présente ^'ote je signale l'existence, parmi les fonctions (2), 

 d'une classe de transcendantes qui, par une propriété arithmétique reniar- 

 ijuablcy se rattachent aux nombres premiers. 



Envisageons celles parmi les fonctions (2) dans lesquelles a et b sont des 

 nonxbres positifs non entiers, avec /j < rt < /> et où 



/(^y étant 'jne fonction arbitraire de /, réelle, holomorphe le long du 



(') Comptes rendus, tl loG, igiS, p. I2i3-i2!5, et un Mémoire paru dans les Publi- 

 cations cfr rAcadénu'e Royale de Serbie, iqro. 



