SÉANCE DU 17 MARS 1919. 5^3 



serment a'it'^^h de l'axe réel Ot. o-ardant un signe invariable le l«ng de ce 



segment, avec 



0{i) = 



sin 



sin — 



/ 



La fonction 0(0, dont on sait, depuis H. Laurent ( '), la relation avec les 



nombres premiers, est holomorphe dans le demi-plan des t à partie réelle 



positive et. pour t compris entre a et h, est constamment positive et plus 



I 

 petite que -• 



sin- — 

 h 



La propriété que nous avons en vue estJa suivante : 

 i^a série 

 (4) ^ ^J^(T^^ 



n = 1 



converge et a pour somme — ~^ J(Pi)^ <^" Pn Pj^ P..-! ■ ■ - (désignent les 

 nombres premiers compris entre a et h. 



En effet, soient A et \j. les deux entiers positifs tels que A — i<^ « <^ A, 

 u. <^ è<; a H- I. On peut tracer un rectangle G symétrique par rapport à 

 l'axe O/, dont les côtés verticaux passent respectivement par ^ = a et z= ^, 

 de hauteur suffisamment petite pour que la fonction (3) soit holomorphe à 

 l'intérieur de G et sur G. D'après une formule sommatoire connue et 

 valable dans ces conditions (-), on a 



(5) '^y\ I '/( ()cos{2/i — i)r.idl — 2\ = y (— !)'•■:,(«) 



Or, en vertu du théorème de VVilson ("); la fonction 0(rt) prend pour 

 « >- 4 la valeur zéro si n est un entier composé, et la valeur 1 si a est pre- 

 mier, ce qui achève la démonstration. 



(') Comptes rendus, t. 126, 1898, p. 809. 

 (-) LiiNDEi.ôF. Calcul des résidus, p. 82. 

 (') \ oir H. Laurent, loc. cit. 



