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La formule sommatoire 



(6) 2 y . / u{t.)cos2nT:Ull = ^u(n) — I ii{()d/, 



valable dans les mêmes conditions que (5) (LiNDELOF, loc. c//.,p. 8o), conduit 

 au résultat suivant : 



La série 



n = l 



converge et a pour somme 



^[i/(/.,)-/(o)]. 



La fonction entière ( 2) spéciale, correspondant à 



a„=z r e{t)t"dt, 



jouit ainsi de la propriété que la série (4) converge et a pour demi-somme le 

 nombre de nombres premiers compris entre a et b. 



THÉORIE DES NOMBRES. — Fx crible d'Eratosthène et le théorème 

 de Goldbacli. Note de M. Viggo Brun, présentée par M. Hadamard. 



Le théorème de Goldl)ach est bien connu : On peut écrire tout nombre 

 pair comme la somme de deux nombres premiers. 



On a maintenant un point de départ pour le traitement de ce problème 

 et des problèmes analogues depuis qu'on a découvert que les nombres pre- 

 miers de Goldbacli peuvent être déterminés par une méthode analogue à 

 celle d'iù-atosthène. Le premier qui ait attiré l'attention sur ce fait est 

 Jean Merlin ('). 



Dans un Mémoire (-) en cours d'impression, j'ai étudié le crible d'Era- 



(') Voir Bulletin des Sciences mathématiques, -i" série, t. ;î9, iQia. Voir aussi 

 Viggo Brun dans Àrchiv for Mathematik og Naturvidenskab, Bund 34, Kristiania. 



(-) Le crible d'Eratosthène et le théorème de Goldbach, présenté par M. G. 

 Stormer à Videnskapsselshapet i Kristiania. le 2/4 janvier 1919. 



