SÉANCE DU 17 MARS 1919. 5^5 



tosthène en lui donnant la forme suivante : Soient données les séries arith- 

 métiques : 



A. A + D. A ^ 2 D. A - ; 1 1. A - 4 D. 



kp. 



r/,. a,. -\-p, «r -f- 2/>, r/r 4- 3/>,. a,. —- [^p, 



Les séries s'étendent de oà a-. A et «,, «., . . ., «, sont des nombres entiers 

 (<)<^A;2D, o<^a,^/)/). D désigne un nombre entier premier avec les 



nombres premiers />,, />2, .••,7>r- 



ISous posons le problème suivant : Cominen la première ligne contient-elle 

 (le termes différents de tous les termes des autres lignes? ISous désignons ce 

 nombre par N(A, Ti, x, a^^ p^, ..., a,., p,) ou plus brièvement par 



N(D. ^, /?,. />o, ..., Pr). 



Nous obtenons la formule fondamentale 



N(A, D, a;. a„ Pi a,.. Pr) 



=:N(A, D, .r, ai, pi. . . ., «,._,, /^._, ) — ^'(■^'' JJ, />/■, •^- «1, /^i- • • -, ^'r-i. />,•- i) 



dans laquelle 



ou, plus brièvement, 



o< A'<D/j, 



i\(D, a:, pi. p., Pr) = N(D, ^s />,, p., Pr-x) — ^(Dy^. .r, />,, /^. /V-i), 



Nous en déduisons la formule suivante : 



N(D, .r,/?,, p.„ p,) 



r=N(D, .r) — N(D/7,, .r)—^(Dp,, a) — . . .— N(Dy;,. .r) 



+ N(Dy>, />!, a;) + N(D/?3/),, a-. />i) 



+ ]\(Dyj;/^,, ^)4- IV (Dy;. /^,. .r, />,) 4-N(Dy). ^5, .r, />,,y>2) 



+ 



+ N(D/?,.y?i, .r) + N(D/?, y^,, ^,y>,) + N(Dy;,y>,. ./,-, /?,. yo.) ^. . . 

 + N(Dy>;. p,._,, a:,/;,, p, Pr-^)- 



