546 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



En écartant tous les termes positifs N qui se trouvent à droite d'une ligne 

 verticale déterminée, nous obtenons une formule donnant une limite infé- 

 rieure de N(I>, ^', /?,, p,^ . .., /?,). En employant cette formule plusieurs 

 fois, nous pouvons calculer une limite inférieure de ^ en nous servant de 

 l'équation 



N(c^, ./•) = ^ -H 6*, où — i!;';<i. 



Par une méthode analogue, nous pouvons déterminer une limite supé- 

 .rieure de N. Nous obtenons les théorèmes suivants : 



L Quand sur .?• nombres consécutifs, nous effarons les termes de deux 

 en deux, puis de trois en trois, etc., finalement de p{\/a) en p{\.r ^ il 

 restera N [i, v, _>, 3, 5, . . . , />(va?)J termes, où N est déterminé par 



-^ <N|i.^, 2,3, .T p{\^^')\< i^^' 



quand X ^ ./„. 



2. Il existe toujours, cidre n et n -\- y /?, un nombre dont le nombre de 

 facMurs premiers ne surpasse pas 1 1 quand n ^ n^. 



Nous pourrions, par cette voie, démontrer un théorème analogue à celui 

 de Dirichlet : 



3. Chaque série arithmétique dont le premier terme et la raison sont 

 premiers entre eux, contient une infinité c^e termes dont le nombre de fac- 

 teurs premiers ne surpasse pas 5. 



En étudiant le crible de Merlin, j'ai démontré les théorèmes suivants : 



4. On peut écrire chaque nombre pair .r, plus grand que ^r„, comme ht 

 somme de deux nojnbres dont le nombre de facteurs premiers (différents ou 

 non) ne surpasse pas 9. 



5. Désignons par Z(x) le nombre de nombres prcjniers jumeaux au- 

 dessous de r, c'est-à-dire de couples de nombres premiers ayant pour 

 différence 2. Nous pouvons alors démontrer que 



,, , . 1 00 X 

 L{x)< 



pour tout r ^ x^. 



