SÉANCE DU 17 MARS I919. 547 



MÉCANIQUE. — Sur la formule de Heriioullï. 

 Note de M. Émilk Cottox. 



La tormule bien connu de Bernoulli est valable pour un fluide parfait 

 animé d'un mouvement permanent et pour un filet déterminé du lluide. 

 (^ette formule, fondamentale en hydraulique, s'y trouve généralemenl 

 appliquée dans des conditions bien différentes de celles que nous venons de 

 rappeler : liquide naturel, mouvement non permanent au sens mathéma- 

 tique du mot, tuyau de section finie. 



Je voudrais indiquer ici quelle formule doit être substituée à celle de 

 Bernoulli quand on adopte les deux dernières hypothèses. Je suppose encore 

 le liquide parfait; les résultats obtenus présentent néanmoins un intérêt 

 pratique : ils permettent de définir avec précision les grandeurs à évaluer 

 quand on veut comparer à propos de la conservation de l'énergie méca- 

 nique un liquide naturel, tel que l'eau, aux liquides parfaits de la Mécanique 

 rationnelle. 



l. Le théorème de Bernoulli étant une forme particulière du principe des 

 forces vives, on peut partir de l'équation générale qui le traduit dans le cas 

 des fluides parfaits, telle qu'elle est donnée au n'' 10 de Tarticle I\'-17 de 

 l'édition française de F encyclopédie des Sciences mathématiques. Elle 

 se simplifie en supposant qu'il s'agit d'un liquide incompressible, de den- 

 sité constante, en admettant que la force extérieure rapportée à l'unité de 

 masse, F, dérive d'une fonction de forces, et en appliquant là formule de 

 Green. Je ne donnerai pas ici le détail de ces transformations, dont voici, 

 en quelques mots, le résultat. 



Imaginons dans l'espace occupé par un liquide parfait de densité p une 

 surface fermée fixe S ; soit \\ le volume intérieur, qui est censé entièrement 

 rempli par le liquide. Appelons v la vitesse,/? la pression, U la fonction des 

 forces extérieures (rapportées à l'unité de masse ). 



L'énergie cinétique de la masse liquide intérieure à K varie avec le temps. 

 La dérivée par-rapport au temps do cette énergie cinétique est égale à la 

 somme des flux à travers S, vers T intérieur, de trois recteurs obtenus en multi- 

 pliant le vecteur vitesse respectivement par - z v'^,p et — pU. Kn d'autres termes, 



