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SÉANCE DU 24 MARS I919. 699 



(. Considérons maintenant la famille des fonctions /„(:;; = /'(:; a"). 

 7 étant un nombre complexe quelconque de module >i. Elle dépend du 

 paramètre entier/?. Dans une couronne (C, T) limitée par deux cercles de 

 centre O (ou par deux courbes fermées quelconques entourant l'origine), 

 il peut arriver que la famille/«(s) soit normale. Toutes les fonctions limites 

 de la suite des/«(^) sont alors identiques à la constante infinie, ce qui veut 

 dire que, pour/^ > «„, |/(::)| est > M dans les couronnes (Ccr", ra"),/?, étant 

 choisi assez grand dès que M est donné : autrement dit/(=) tend uniformé- 

 ment vers l'infini dans les couronnes (Ccr". Ter"). Mais ceci est certainement 

 impossible si F = crC, c'est-à-dire si la couronne (C, T) est un domaine 

 fondamental de la substitution (g, ^cr) compris entre un cercle quelconque C 

 et son transformé Ccr. Car cela équivaudrait à dire qu'à l'extérieur d'un 

 cercle assez grand on a |/(::)| > M, ce qui est absurde. Il doit donc exister 

 dans la couronne (C, Co-) un point au moins z^^ où la suite des /„ n'est pas 

 normale. Si on l'entoure d'une aire circulaire arbitrairement petite (D, on 

 conclura aisément que, dam rensemhle des aires tD, o-ffi, cr- tô, . . . , a'\i), ..., 

 la fonction f(z) prend toute valeur finie, sauf peut-être une valeur exception- 

 nelle. 



Ce qui précède s'applique évidemment à toute fonction uniforme ayant 

 un point singulier essentiel isolé, qu'on peut supposer à l'infini. 



II. Définissons alors l'ensemble c, P ensemble formé des points autour 

 desquels la suite des fn{z) n est pas normale. D'après I, C contient un point 

 au moins dans toute couronne (C,C7C) (C étant une courbe fermée 

 quelconque entourant l'origine). Si un point z^ appartient à c, tous les 

 z^'f^" {n = I, 2, ..., 3c) appartiennent aussi à C. Tout point-limite de points 

 de c appartient à C. En particulier, l'origine est un point de ^ : cela peut, 

 d'ailleurs, se \oii a priori. Les points de C ne sont jamais isolés : tout point 

 de i- est limite de points de^'. Cela résulte de ce que, si une suite/,/:;), dont 

 tous les termes f,^ sont holomorphes dans une petite aire circulaire ©, 

 converge vers une limite en tout point de cette aire, sauf peut-être au 

 centre; elle converge aussi au centre. L'ensemble c est donc un ensemble 

 parfait. Tout point 'C de c jouit de la propriété que nous avons reconnue 

 au point z^, dans le paragraphe I : il y a une valeur au plus que ne puisse 

 prendre/!^), dans les aires®, ®t, ..., co^'', ..., i^ étant une aire arbitrai- 

 rement petite entourant z^^. 



L'ensemble parfait >L se transforme en lui-même par la substitution 

 (::,^a-). Ses points s'accumulent en particulier autour du point à l'infini. 

 Il peut être, quant à sa structure. 



