SÉANCE DU 3l MARS 1919. 673 



mètre u. Soient en outrer/,, (f.>^ .... a^^^ les valeurs critiques de m, puis, 

 dans le plan de cette variable, traçons des coupures «0^/5 î*llant des «, à un 

 point quelconque «„ du plan. En se servant de la méthode de subdivision en 

 polyèdres, employée par Poincaré, on peut montrer que : i" Tout cycle à 

 (l dimensions est homologue à la somme de deux autres, dont l'un est dans 

 une section hyperplane arbitraire H, et l'autre est obtenu en associant les 

 cycles k d — i dimensions de H« aux coupures. Ce dernier cycle peut être 

 déforme de manière à ne pas rencontrer II; 2" Tout cycle à i<^d dimen- 

 sions est homologue à un autre dans H ; )' V et H ont le même indice de 

 connexion à i:d-~ 2. dimensions, 11,. Ceci est encore vrai quand |H| est 

 remplacé par un système linéaire convenable [Cl. 



2. Un cycle est ej/'ec/i /'Y>SiV rapport à une hypersurface D de Y,/ s'il y en 

 a un qui lui est homologue, mais ne rencontre pas D. Les cycles, non effec- 

 tifs par rapport à une H, sont dépendants de ceux que H contient, d'où, si 

 \\j désigne le nombre de cycles à / dimensions effectifs par rapport à H, 

 li^ = |{. — R._., (-2 < i'^d), R' = R^ — i . En se servant ensuite de certaines 

 intégrales doubles, on arrive àla formule de M. Alexander 



r;,^— ( — •<> ' i— 1)'' '■-' ii,-r-2(— i)''(f/- i). 



Tout ceci subsiste lors(pic l'on remplace j H | par [ G | convenable, et même 

 qualitativement quand on considère une hypersurface quelconque. Toute- 

 fois, quand au lieu de 11 on a plusieurs hypersurfaces en formant une réduc- 

 tible, le nombre de cycles effectifs peut croître pour atteindre un maximum 

 l\-_- -h p, , et p, est un invariant numérique de V,/. En particulier, Oo -h i = p, 

 nond^rc de Picard de la variété, Ql SI p,' est le nombre d'intégrales ï — uples 

 de deuxième espèce, p'o= R- — 0, = R, — Iv,-^ — p,. Pour /=<:/= 2, on a là 

 une formule classique de M. Picard, et j'ai déjà fait ailleurs l'étude de cer- 

 tains cas plus généraux ( /= ^/ = 3; ^ ':=: 2, of quelconque). 



Le plus petit commun multiple c, des coefficients de torsion à i dimen- 

 sions de Poincaré est un autre invariant intéressant. En particulier, a., est 

 égal au nombre g- de M. Severi. 



3. Tout ce qui précède prend un intérêt considérable quand on envisage 

 les intégrales de première espèce. Voici la propriété la plus saillante à 

 laquelle je sois arrivé : Le nombre p d'une surface algébrique est égal éi celui 



