674 ACADÉMIE DES SCIE^CES. 



des cycles superficiels par rapport auxquels les intégrales doubles de première 

 espèce n'ont pas de période. Pour une Vq,, </>• -i, on n'a ainsi qu'une limite 

 supérieure de p. Dans certains cas toutefois, par exemple celui des variétés 

 abéliennes, l'égalité subsiste encore. 



4. Ce qui précède attire l'attention sur les propriétés des périodes d'inté- 

 j^rale de première espèce. Une première question se pose de suite : Une telle 

 intégrale peut être sans périodes? Vrohdh\em.Qni pas, mais nous n'avonspu le 

 démontrer que dans certains cas particulier (surfaces intersections com- 

 plètes, plans doubles ). Il s'agit de montrer, par exemple, pour une surface 

 algébrique'F(.r, r, z) = o, l'impossibilité d'une relation 



i^'-. va' ôy 



on (^ est un polynôme canonique et l', ^ sont des fonctions rationnelles. 



GKOMÉTiîlE SUI'KIUEURE. — Surfaces applicables sur le paraboloide 

 de révolution. Note de M. Bektrani» Gambie». 



i. M. Darboux indique ( T/iéorie des suif aces, t. "X) le moven d'obtenir 

 toutes les surfaces réelles applicables sur le paraboloide de révolution P, 

 .r- -h y- = 4-;^. Nous traçons sur la spbère x--\-y'~\- 5-= i une courbe 

 sphérique B(c, c', n") et la courbe conjuguée B,(C|, r, , c\); en désignant 

 par £ l'un des nombres i, — i et o; les formules 



(1) ' ^-^~ ( (-' '■''<-■' — c" de — — / c-, (/(■'[ — c'[ dc^ -- ^^^^(r'cj — r c".). 

 I ^ -— — / c' de -- (■ de' f 'i dcf ~ Tj dr[ -- ^^^ ( c c] — c' Cj ) 



détinissent trois surfaces : S pour s — i, S' pour £ = — \ . 1 pour s = o, 

 réelles toutes trois; les deux premières sont applicables sur P. 



J'ai signalé dans ma Note des Comptes rendus du 17 mars 3919 que, dans 

 l'application, un point réel de S est bomologue d'un point réel de 1*, mais 

 que, pour S' et P, un point réel de l'une est homologue d'un point imagi- 

 naire de l'autre. 



