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S, S' et 1 sont algébriques si A est algébrique et réciproquement. Le 

 cône C est alors algébrique et satisfait à un ensemble de conditions que j'ai 

 étudiées. Les génératrices isotropes de C jouent un rôle important et con- 

 duisent, moins simplement toutefois que pour A, à la détermination du 

 degré, de la classe, du genre de S, S' et ^. 



Pour les points à l'infini de S et S' le résultat est particulièrement simple : 

 la section de S ou S' par le plan de l'infini se compose exclusivement des 

 tangentes au cercle de l'infini aux points où le cône C le rencontre. 



3. Si l'une des surfaces S, S' ou 1 admet un plan, un centre ou un arc de 

 symétrie, ou un axe de rotation, cette propriété appartient aux deux autres. 

 La recherche de celles de ces surfaces qui possèdent ces propriétés con- 

 stitue un problème intéressant auquel s'appliquent les beaux résultats de 

 M. Goursat ( ' ). 



Par exemple, si S est symétrique par rapport à un plan H que l on [)eut 

 supposer passant par l'origine, le cône C et le cône conjugué C, sont symé- 

 triques l'un de l'autre par rapport à IT et réciproquement. Si donc les deux 

 courbes B et B' sont algébriquement distinctes, il y a deux cas suivant 

 que B, est symétrique de B ou B'; dans le premier cas, la symétrie est de 

 première espèce pour S, de seconde pour S'; dans le second cas c'est 

 l'inverse. J'adopte ici les conventions de langage de M. ( îoursat; cet auteur 

 les réserve pour les surfaces simples; ici, bien que S et S' soient doubles en 

 général, il est possible d'étendre la définition des deux espèces de symétrie. 



La symétrie par rapport à un point, l'existence d'axes de rotation, 

 donnent lieu à des résultats analogues. 



i. L'exemple le plus simple est donné par la cubi(jue de M. Lyon, cor- 

 respondant à la courbe B : 



(5) c = 



ik ' ^ -' ik ' ^ '/. 



où t est le paramètre et /■ une constante arbitraire réelle. S et S sont de 

 degré \i et de classe 8. Le plan zOx est plan de symétrie de première 

 espèce pour S, de seconde pour S'; le plan zOy est plan de symétrie de 

 deuxième espèce pour S et de première pour S'. 



."). M. Darboux a indiqué comment on peut déduire par dégénérescence 



(^) Annales de l Ecole Normale, i! 



