(378 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Au cas IV, des rhombes présentant if/-o«V orientations dill'érentcs ol doul 

 les angles sont égaux a - t: et -iï respectivement. 



En prenant un polygone fondamental de chaque orientation et enjoignant 

 ces polygones, on forme un carré G aux cas I et III, un hexagone régulier H 

 aux cas II et IV. 



S'il existait deux polygones fondamentaux de P, dilTéreinment orientés 

 et représentant le même feuillet de S, il existerait une rotation de P laissant 

 invariants tous les points de S, ce qui évidemment est impossible. Donc, le 

 groupe des transformations de P laissant invariants tous les points de S et 

 déterminant complètement la surface S, est un groupe de translations t. 



En choisissant sur P les axes des coordonnées perpendiculaires à deux 

 côtés de G ou de H respectivement, et l'unité linéaire égale à la distance de 

 deux côtés opposés de G ou de II respectivement, le groupe/, engendré par 

 les deux transformations 



(0 

 et 



(m, n el p représentant des entiers), est assujetti à la seule condition d'être 

 invariant pour une rotation de - û au cas ITI, de ^ t: aux cas II et IV, ce qui 

 entraîne pour m, n ei p les conditions suivantes : 



Au cas III, m et /^ divisibles par p et ( — j + i divisible par -: 



Aux cas II et IV, m et n divisibles par p et ( — ] H h i dt\isible 



pa.--; 



Au cas I non seulement les entiers m, n et p sont complètement arbi- 

 traires, mais on doit encore ajouter la possibilité que / est engendré par la 

 seule translation ( '2). 



