SÉANCE DU 7 AVRIL I919. 719 



I " Ou bien f(z) na pas de valeur asymptotique^ c'est-à-dire que sur aucun 

 fhemin tendant vers l'infini, /ne peut tendre vers une valeur déterminée : 

 les fonctions elliptiques sont dans ce cas. 



2'^ Ou bien f{~-^ a au moins une valeur asymptotique to, finie ou infinie. 



I. Plusieurs géomètres ont, après M. Hurwitz, signalé que les seules 

 singularités transcendantes de la fonction inverse de la fonction /(^) 

 étaient les valeurs asymptotiques de /(s). M. Iversen, en particulier, a 

 étudié les fonctions inverses des fonctions méroniorphes, et l'on conclut 

 immédiatement de sa thèse, qu'une fonction /'(:?) dénuée de valeurs asymp- 

 totiques admettant une fonction inverse douée de singularités purement 

 algébriques, on peul diviser le plan des z en une infinité de régions telles 

 que, dans chacune de ces régions, /(^) prend une et une seule fois toute 

 valeur finie ou infinie; chacune de ces régions est tout entière à distance 

 finie : ces régions, par leur ensemble, recouvrent tout le plan sans omission 

 ni répétition, elles sont deux à deux contiguës, comme les parallélo- 

 grammes de périodes d'une fonction elliptique ; chacune de ces régions est 

 l'image d'un feuillet de la surface de Riemann de la fonction inverse 

 de/r^). 



II. Dans la deuxième hypothèse, il existe un chemin F allant à l'infini, 

 sur lequel /'(:;) tend vers une limite déterminée w. On étudie alors, a étant 

 un nombre complexe arbitraire de module ^ i, la suite des fonctions 



/„(3)=/(ra"), 



dans une couronne c, limitée par les deux cercles (G, C7), G étant un 

 cercle (ou une courbe ) arbitraire de centre O. F allant à l'infini traverse 

 évidemment toutes les couronnes 8a". Soit a,;|3„ un arc continu de F allant 

 du cercle Gcr" au cercle Ga"^', en traversant la couronne Co-", A,jB„ 



Tare -^^^ qui est, dans la couronne 3, l'image de a,,fl„. Nous avons ainsi 



dans 2 une infinité d'arcs continus A(,Bo, A,B,, ..., A„B,,, ... dont 

 chacun va du cercle G au cercle G a : il est clair que pour n^ n^^oxv aura 

 sur A„B„ 



quelque petit que soit £. 



(') On peul toujours supposer w fini, en substituant au besoin -: — -— à / (-). 



