720 ACADÉMIE DES SCIENCES 



Il est dès lors impossible que, dans toute la couronne 3, la famille des ^ 

 soit normale. En effet, toute suite de fonctions /„ qui convergerait dans c, 

 ne pourrait converger que vers la constante oj; cela résulte de ce que les 

 arcs A„ B„ ont toujours, dans z, un ensemble limite parfait en tout point 

 duquel la fonction analytique limite des/, ne peut différer de to. Toutes les 

 fonctions limites de la famille /„ étant identiques à w, /devrait tendre uni- 

 formément vers co quand :: tend vers l'infini, et cela est impossible. 



On doit donc admettre l'existence d'un point au moins z,^ de z où la 

 famille/, n'est pas normale ; si l'on entoure ^o d'une aire arbitrairement 

 petite ®„, et si l'on envisage les aires (ô„a, (Oocr-, ..., i\^,^'j'\ ..., dans l'en- 

 semble de ces aires f{z) prendra toute valeur, finie ou infinie, ci rexception 

 peut-être de deux valeurs au plus. 



On peut alors parler de l'ensemble,; des points où la suite des /n'est pas 

 normale. Il est fermé et admet en lui-même la transformation {z, za). 

 C est formé de tous les points autour desquels une suite partielle /,, n'est 

 pas normale. Dans les aires (0„, (OoO-, ..., o.\c7", ..., correspondant à un 

 point z^^ de C, s'il arrive que/(\s) ne prenne pas une certaine valeur (deux 

 au plus), cela suffit pour qu'on puisse affirmer que ^^ n est pas isolé dans *! , 

 qu'il est limite de points de >i : si, dans les aires cOo, Oc^oO-, . . ., tOo^j", /'prend 

 toute valeur finie ou infinie, quelque petite que soit cô„, il y a doute à ce 

 sujet. Si l'ensemble vL' est discontinu (comme cela peut effectivement arri- 

 ver), et si l'on considère une couronne (C,Co) limitée par deux courbes 

 arbitraires entourant l'origine, et entre lesquelles v^" ne compte aucun point, 

 dans l'ensemble des couronnes ((^,7", C.t") fyz) tend uniforme ment vers 

 (o, quand n grandit indéfiniment. 



L'utilisation du chemin F sur lequel /(g) tend vers une limite déterminée 

 a joué ici, et jouera dans les résultats que je publierai ultérieurement, un 

 rôle important par lequel les considérations actuelles se rattachent à celles 

 que j'ai précédemment exposées ; on sait, en effet, que pour toute fonction 

 entière 9(5) il existe un chemin F sur lequel o tend vers l'infini, et pour 

 toute fonction méromorphe z> ayant une valeur exceptionnelle co, il existe 

 un chemin sur lequel ç- tend vers co. Mais j'ai préféré exposer d'abord le cas 

 des fonctions entières qui exige une analyse moins délicate. 



Je n'insiste pas sur les généralisations faciles qu'on pourrait faire en 

 substituant aux nombres a, 1-, ..., cr", ... d'autres nombres cr,, c;,, ..., 

 T/o . • . tendant vers l'infini : dans chaque cas particulier, on choisira les g-„ 

 qui conviennent le mieux. 



