SÉANCE DU 7 AVRIL I919. 72 1 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques formules d'approximation, 

 fondées sur la généralisation des quadratures, dites mécaniques. 

 iNote de M. Nicolas Kryloff. 



La question de la convergence des quadratures, posée autrefois (') par 

 Stieltjes et reprise depuis par divers auteurs (-) peut, par l'introduction 

 d'un paramètre, sug^gérer l'idée d'une nouvelle formule d'approximation 

 pour des fonctions susceptibles d'être représentées sous la forme 



■0-)= / f{x)\^{.r,y)dx.. 



intimement liée au problème du développement des fonctions arbitraires 

 dans la théorie des équations intégrales. 



Dans le domaine de la variable complexe pour les fonctions analytiques, 

 la question dont il s'agit a été posée (^) par M. Pincherle; or, paraît-il, le 

 problème n'a pas été abordé pour les fonctions de la variable réelle, et 

 l'objet de cette Note consiste, précisément, à montrer la possibilité du 

 problème sous certaines conditions restrictives (') imposées aux fonc- 

 tions /(.r) et K(a7, v). 



A cet effet, remarquons que. d'après les recherches (^) de M. Jackson, 

 toute fonction vérifiant la condition de Lipschitz peut être représentée au 

 moyen d'un polynôme ç.,^_, i x) avec le reste R„(^)j dont la valeur absolue 



ne surpasse pas — '■•> où '/.est le coefficient de Lipschitz; cela étant, la formule 

 évidente : I 



1 

 h " " 



^f :.,_,(.r)K(.r.y)r/.r-VA,9„(.o)-f- / ' i\„K{^, y) du ~.S\\^l\,^(^u.), 



I 1 



(*) Voir Annales de f focale Normale, i884. 



("-) Voir par exemple (omptes rendus, t. 101, 1915, p. 7-0. 



(•') Su alcune forme approssimate per la representazione di funzione {Memorie 

 délia Accad. di Bologna. 1889). 



{'*) Les conditions dont il s'agit peuvent être, cela se conçoit, élargies dans le cours 

 dune investigation ultérieure. 



(^) Transactions of the Americ. Math. Society, 1918. \ 



